bzoj4916-神犇和蒟蒻
题意
第一问，输出1 。
第二问，求
\[\sum _{i=1}^n\varphi(i^2)
\]
\(n\le 10^9\) 。
分析
\(\varphi\) 函数是非完全积性的，所以：
\[\sum _{i=1}^n\varphi(i^2)=\sum _{i=1}^ni\varphi(i)
\]
这个形式是一个函数和一个完全积性函数的点积。对于一个一般性的问题，\(f(n)\) 没有限制，\(g(n)\) 是一个完全积性函数。
令
\[S(n)=\sum _{i=1}^nf(i)g(i)
\]
那么有：
\[\begin{aligned}
\sum _{i=1}^ng(i)S(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor)&=\sum _{i=1}^ng(i)\sum _{j=1}^{\lfloor\frac{n}{i}\rfloor}f(j)g(j) \\
&=\sum _{ij\le n}g(i)g(j)f(j) \\
&=\sum _{i=1}^ng(i)\sum _{j|i}f(j)
\end{aligned}
\]
由于 \(g\) 是完全积性的，所以 \(g(1)=1\) ，所以有
\[S(n)=\sum _{i=1}^ng(i)\sum _{j|i}f(j)-\sum _{i=2}^ng(i)S(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor)
\]
如果 \(g\) 的前缀和以及 \((f*I)\) 比较好求的话，就可以用杜教筛相同的方法啦！
回到上面的题目，令 \(g(i)=i,f(i)=\varphi(i)\) ，那么就有：
\[\begin{aligned}
S(n)&=\sum _{i=1}^ni^2-\sum _{i=2}^niS(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor) \\
&=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-\sum _{i=2}^niS(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor)
\end{aligned}
\]
