网络流
网络流 Network flow
flowchart LR
S(Source)
v1([V1])
v2([V2])
v3([V3])
v4([V4])
t(sink)
S -->|4| v1
S -->|2| v2
v1 -->|1| v2
v2 -->|2| v4
v1 -->|4| v4
v1 -->|2| v3
v4-->|3|t
v3-->|3|t
有向有权图，Source为起点，Sink为终点。
阻塞流 blocking flow
flowchart LR
S a@-->|2/2| v1
v1 b@-->|1/1| v2
S -->|0/2| v2
v1 c@-->|1/2|T
v2 d@-->|1/1|T
a@{ animation: fast }
b@{ animation: slow }
c@{ animation: slow }
d@{ animation: slow }
无法让更多的水流过。
如何找到一种阻塞流方案
Residual (空闲量) Graph (图)
空闲量=管道最大流量-实际流量；
- 随便找一条从起点到终点的路径。
- 计算该路径可通过的最大流量，更新空闲量。
- 重复，若找不到路径就结束。
flowchart LR
S(Source)
v1([V1])
v2([V2])
v3([V3])
v4([V4])
t(sink)
S ==>|4-3=1| v1
S -->|2| v2
v1 -->|1| v2
v2 -->|2| v4
v1 ==>|4-3=1| v4
v1 -->|2| v3
v4==>|3-3=0|t
v3-->|3|t
flowchart LR
S(Source)
v1([V1])
v2([V2])
v3([V3])
v4([V4])
t(sink)
S ==>|1-1=0| v1
S -->|2| v2
v1 -->|1| v2
v2 -->|2| v4
v1 -->|1| v4
v1 ==>|2-1=1| v3
v4 -.-> t
v3==>|3-1=2|t
没有从起点到终点的路径，找到阻塞流
最大流 Maximum flow
将边看成一些水管，水管有最大流量限制。从起点注水，求网络能承载的最大流量，即注水口和出水口的最大流量，每根管道的流量不能超过其最大流量。
Ford-Fulkerson Algorithm
- 随便找一条从起点到终点的路径。
flowchart LR
S(Source)
v1([V1])
v2([V2])
v3([V3])
v4([V4])
t(sink)
S a@==> |4-3=1| v1
S --> |2| v2
v1 -->|1| v2
v2 -->|2| v4
v1 b@==>|4-3=1| v4
v1 -->|2| v3
v4 c@==>|3-3=0|t
v3-->|3|t
a@{ animation: fast }
b@{ animation: fast }
c@{ animation: fast }
-
该路径可通过最大流量为3，更新空闲量。
-
添加反向路径
flowchart LR
S(Source)
v1([V1])
v2([V2])
v4([V4])
v3([V3])
t(sink)
S -->|1| v1
S -->|2| v2
v1 -->|1| v2
v2 -->|2| v4
v1 -->|1| v4
v1 -->|2| v3
v4 ~~~t
t a@-.->|3|v4
v4 b@-.->|3|v1
v1 c@-.->|3|S
v3 -->|3|t
a@{ animation: slow }
b@{ animation: slow }
c@{ animation: slow }
- 重复第一步，找一条从起点到终点的路径。
flowchart LR
S(Source)
v1([V1])
v2([V2])
v4([V4])
v3([V3])
t(sink)
S -->|1| v1
S a@==>|2| v2
v1 -->|1| v2
v2 b@==>|2| v4
v1 -->|1| v4
v1 d@==>|2| v3
v4 ~~~t
t -.->|3|v4
v4 c@-.->|3|v1
v1 -.->|3|S
v3 e@==>|3|t
a@{ animation: fast }
b@{ animation: fast }
c@{ animation: fast }
d@{ animation: fast }
e@{ animation: fast }
- 最大流量为2，更新空闲量。
flowchart LR
S(Source)
v1([V1])
v2([V2])
v4([V4])
v3([V3])
t(sink)
S -->|1| v1
S ~~~ v2
v1 -->|1| v2
v2 ~~~ v4
v1 -->|1| v4
v1 ~~~ v3
v4 ~~~ t
t -.->|3|v4
v4 -.->|1|v1
v1 -.->|3|S
v3 -->|1|t
- 添加反向边，合并方向相同的边。
flowchart LR
S(Source)
v1([V1])
v2([V2])
v4([V4])
v3([V3])
t(sink)
S -->|1| v1
v1 -->|1| v2
v1 c@--->|3| v4
t -.->|3|v4
v4 -.->|1|v1
v1 -.->|3|S
v3 -->|1|t
v2 a@-.->|2| S
v4 b@-.->|2| v2
v3 d@-.->|2| v1
t e@-.->|2| v3
a@{ animation: slow }
b@{ animation: slow }
c@{ animation: fast }
d@{ animation: slow }
e@{ animation: slow }
- 找不到从起点到终点的路径，结束循环、
删除反向路径
flowchart LR
S(Source) -->|1| v1([V1])
S ~~~ v2([V2])
v1 --> |1| v2
v2 ~~~ v4
v1 -->|3| v4([V4])
v1 ~~~ v3([V3])
v4~~~t(Sink)
v3-->|1|t
计算流量
flowchart LR
S(Source)
v1([V1])
v2([V2])
v3([V3])
v4([V4])
t(sink)
S -->|3| v1
S -->|2| v2
v1 -.-> v2
v2 -->|2| v4
v1 -->|1| v4
v1 -->|2| v3
v4-->|3|t
v3-->|2|t
算法效率
Ford-Fulkerson Algorithm由于选择路径时的不确定性在一些情况下，速度非常慢。
举例：
flowchart LR
S -->|1000| v1
v1-->|1| v2
S -->|1000| v2
v1-->|1000|T
v2-->|1000|T
显然最大流为2000
若第一次选择路径 S->v1->T 或 S->v2->T则可以很快解决问题。
若选择 S->v1->v2->T 则需消耗较长时间。
flowchart LR
S <-->|1\999| v1
v2 -.->|1| v1
S -->|1000| v2
v1-->|1000|T
v2<-->|1\999|T
flowchart LR
S <-->|1\999| v1
v1 -.->|1| v2
S <-->|1\999| v2
v1<-->|1\999|T
v2<-->|1\999|T
在最坏情况下需要循环2000次。
Edmonds-Karp Algorithm
为了解决最坏情况下的效率问题，每次选取最短路径（不考虑边的权重）
时间复杂度：找最短路 \(O(edges)\),最多循环 \(edges\times vertices\)。最坏时间复杂度
\(O(edges^2 \times vertices)\) 证明比较复杂可以看原始论文。
Dinic's Algorithm
Yefilm Dinitz. Proceedings of the USSR Academy of Sciences, 11:
1277-1280, 1970.
阻塞流
最大流一定是阻塞流
阻塞流不一定是最大流，但无法让更多的水流过。
Level Graph 分层图
从起点出发走几步可以到达。
flowchart LR
s(S/0)
v1([3])
v2([1])
v3([3])
v4([2])
t(T/4)
s <--> v2
v2 <--> v4
v1 <--> v4
v1 --> s
v4 --> v3
v3 <--> t
t --> v4
v2 --> v4
flowchart LR
s(S/0)
v1([1])
v2([1])
v3([2])
v4([2])
t(T/3)
s --> v1
s --> v2
v1 --> v3
v1 --> v4
v2 --> v4
v3 --> t
v4 --> t
计算最大流
- 构建 level graph
- 寻找阻塞流（更新空闲量）
- 如果找不到，break。
- 添加反向边
- goto 1
最坏时间复杂度 \(O(edges \times vertices^2)\)
浙公网安备 33010602011771号