贝尔曼方程、贝尔曼期望方程和贝尔曼最优方程之间的区别与联系

贝尔曼方程、贝尔曼期望方程和贝尔曼最优方程是强化学习中描述状态值函数或动作值函数的核心方程，它们在不同场景下有不同的形式和用途。

以下是它们的定义、区别和联系：

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1. 贝尔曼方程（Bellman Equation）
定义：
贝尔曼方程是一个广义的概念，它描述了状态值函数 $ V(s) $ 或动作值函数 $ Q(s,a) $ 的递归关系。它基于动态规划的思想，将当前状态的值与后续状态的值联系起来。
具体来说，它可以分为两种形式：贝尔曼期望方程和贝尔曼最优方程。

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2. 贝尔曼期望方程（Bellman Expectation Equation）
定义：
贝尔曼期望方程是贝尔曼方程在特定策略 $ \pi $ ^[1]下的具体形式，明确表达了策略 $ \pi $ 对状态转移和动作选择的影响。
• 状态值函数的贝尔曼期望方程 (即$ V^\pi(s) $ 与 $ V^\pi(s') $ 的递归关系)：

\[V^\pi(s) = \sum_{a} \pi(a \mid s) \left( R(s,a) + \gamma \sum_{s'} P(s' \mid s,a) V^\pi(s') \right) \]

理解：

1. 为什么会由状态$ s $ 转移至状态 $ s' $ ？
   因为执行了动作 $ a $，所以，首先对所有动作求期望（即 $ \sum_{a} \pi(a \mid s)(...) $ ）。
2. 接下来，在状态$ s $ 下执行了某一具体的动作$ a $ 之后，会有：
   • 获得即时奖励$ R(s,a) $
   • 转移至状态 $ s' $，但具体是哪一个状态 $ s' $是不确定的，所以这里又要对状态 $ s' $求一次期望（即 $ \sum_{s'} P(s' \mid s,a) V^\pi(s') $ ）。
3. 因为发生了状态状态，所以需要 $ \gamma $

• 动作值函数的贝尔曼期望方程 (即$ Q^\pi(s,a) $ 与 $ Q^\pi(s',a') $ 的递归关系)：

\[Q^\pi(s,a) = R(s,a) + \gamma \sum_{s'} P(s' \mid s,a) \sum_{a'} \pi(a' \mid s') Q^\pi(s',a') \]

其中：
• $ P(s' \mid s,a) $ 是状态转移概率，$ \pi(a \mid s) $ 是策略概率。

特点：
• 显式依赖于策略 $ \pi $，用于计算给定策略下的值函数（如策略评估）。

• 是策略迭代（Policy Iteration）中策略评估步骤的核心。

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3. 贝尔曼最优方程（Bellman Optimality Equation）
定义：
贝尔曼最优方程描述了最优值函数 $ V^*(s) $ 或 $ Q^*(s,a) $ 的递归关系，其解对应最优策略 $ \pi^* $。
• 最优状态值函数的贝尔曼方程：

\[V^*(s) = \max_a \left( R(s,a) + \gamma \sum_{s'} P(s' \mid s,a) V^*(s') \right) \]

• 最优动作值函数的贝尔曼方程：

\[Q^*(s,a) = R(s,a) + \gamma \sum_{s'} P(s' \mid s,a) \max_{a'} Q^*(s',a') \]

特点：
• 通过最大化动作选择（$ \max_a $）直接求解最优策略，而非依赖固定策略。

• 是值迭代（Value Iteration）和Q学习（Q-Learning）等算法的理论基础。

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区别与联系

方程	依赖策略	是否涉及优化	用途
贝尔曼方程	任意策略	否	通用递归关系
贝尔曼期望方程	固定策略 $ \pi $	否	策略评估（计算 $ V^\pi $ 或 $ Q^\pi $）
贝尔曼最优方程	无（隐含最优策略）	是（$ \max $）	求解最优策略（$ V^* $ 或 $ Q^* $）

联系：

1. 贝尔曼期望方程是贝尔曼方程在固定策略下的具体化。
2. 贝尔曼最优方程是贝尔曼期望方程的优化版本（将求和替换为最大化）。
3. 三者均通过递归关系将当前状态值与后续状态值联系起来，体现了马尔可夫决策过程（MDP）的动态特性。

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直观理解
• 贝尔曼期望方程：问“当前策略 $ \pi $ 下，状态 $ s $ 的值是多少？”

• 贝尔曼最优方程：问“在所有可能的策略中，状态 $ s $ 的最大可能值是多少？”

通过贝尔曼最优方程的解，可以直接导出最优策略 $ \pi^* $，而贝尔曼期望方程的解需要结合策略改进才能逐步逼近最优策略。

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1. 某一具体策略 ↩︎