递归算法之不用乘号的乘法——用位移实现乘法（dart语言实现）

　　前两天突发奇想，写一个乘法的实现，但不用乘号*。并测试一下性能如何。因此就有了下面的代码：（本文主要目的是为了玩递归和位移，因此仅限自然数）

首先，标准乘法：

int commonMultiplication(int a, int b) => a * b;

第二，从数学的角度，乘法其实就是加法，只是加法的简写而已，因此 a * b 可以理解为 b 个 a 相加；故得出用加法代替的乘法。为了减少加法的次数，取 a, b 两数的最小值进行循环：

int plusMultiplication(int a, int b) {
  var t = a > b ? b : a, r = 0;
  if (t == a) {
    a = b;
    b = t;
  }

  while (b-- > 0) r += a;
  return r;
}

最后，位移乘法。计算机进行位移操作的速度是非常快的，因此，如果能把乘法换算成位移操作的话，速度会不会更快？但是根据计算机二进制的特点，每次向左位移，相当于是乘了2的n次方，怎么办？我们看看例子：

　　31 * 18

怎么用位移来实现呢？首先我们取小的数：18，进行拆解。拆解的算法是，任何一个自然数，在计算机中都可以用二进制表示，那么，任何一个自然数，也可以拆解为2的幂的和。比如 18 的二进制表示 为  10010，拆解成十进制，即为 18 = 16 + 2；那么上面可以拆解为：

　　31 * 18 = 31 * （16 + 2） = 31 * 16 + 31 * 2

此时即可换成位移的算法：

　　31 * 18 = 31 * （16 + 2） = 31 * 16 + 31 * 2 = 31 * 2^4 + 31 * 2^1 = (31 << 4) + (31 << 1)

是不是转成了位移？这里要注意对乘数 18 的处理，位移的关键是找到乘数 b 如何拆解为 2 的幂，这里要递归拆解，以18为例，第一次的关键是找到16这个2的幂，然后用18 - 16，结果等于 2，继续找2等于多少2的幂，直到差小于2为止。同时，考虑到a*b，在实际计算中即使小的乘数也很大的情况，采用类似二分搜索的方式，给定阶数，从大的阶数向小的阶数递归。阶数的设定可以参考计算机的位数，即32位还是64位。因此，计算一个数可以拆分出来的最大2的幂的代码如下：

int _bitShift(int d, int order) {
  if (order == 0) return 0;
  var i = 0;
  for (var t = d; (t >>= order) > 0; d = t, t = d) i += order;
  return i + _bitShift(d, order >> 1);
}

位移乘法实现的代码

int bitMultiplication(int a, int b, int order) {
  var t = a > b ? b : a, r = 0;
  if (t == a) {
    a = b;
    b = t;
  }

  for (var i = _bitShift(b, order); i > 0; i = _bitShift(b, order)) {
    r += a << i;
    b -= 1 << i;
  }

  return b == 1 ? r + a : r;
}

经过采用随机大数进行多次循环测试，结果显示，用加法实现的乘法速度最慢，最快的仍然是 普通乘法，即用乘号的乘法；位移乘法居中。看来底层的计算机指令还是对*乘法做了优化。

 

最后说明一下，本文纯属原创，没有使用dart 自带math包，尤其是在求一个数可以拆出来的最大的2的幂的数字时。否则直接用math包中的log函数即可得出结果，但这样就起不到自己练习位运算和递归的目的了。