$\text{RSY}$ 讲课记录

P3260 [JLOI2014]镜面通道

首先猜结论：如果空气联通的话那么光路就可以穿过。

然后直接转对偶图求最小割即可。

特别注意一下如何判断圆和矩形相交。

• 看矩形的四个角是否在圆内
• 看圆的四个极点是否在矩形内
• 判断是否存在包含关系

当题目的条件非常迷惑的时候，要尝试猜结论，并且猜结论要向着可做的方向去想。

P3749 [六省联考 2017] 寿司餐厅

连边方式如下：

• 每个区间 \([l,r]\) 向 \([l-1,r],[l,r-1]\) 这两个区间连边，表示选了 \([l,r]\) 其子区间必须全选。
• 每个长度为一的区间 \([i,i]\) 权值减去 \(a_i\) ，并且向寿司 \(a_i\) 连边，表示 \(a_i\) 寿司的结点，权值为 \(-mx^2\)

然后就是要求解一个最大权闭合子图的问题。具体方法如下：

首先加上每个正数点权，然后根据点权正负性分类讨论：

• 如果是正的，则向 \(S\) 连边，边权为 \(a\) 。表示如果不选，则要减去这个贡献。
• 否则，向 \(T\) 连边，边权为 \(-a\) 。表示如果选，要加上 \(a\) 这个贡献。

P7737 [NOI2021] 庆典

考虑利用上题目所给的性质。

首先 \(\text{tarjan}\) 缩点，然后拓扑排序缩成外向树，由于题目性质保证，某个点外向树上的父亲是能到达该点的点中拓扑序最大的一个。

接下来考虑每次询问新加的边，将 \(S,T\) 和新边的起点和终点视为关键点，建虚树，再在虚树上加上两条新边变成一个有向图，这样 \(S\rightarrow T\) 路径上的点一定被包含在有向图中，因此从 \(S,T\) 开始 \(\text{bfs}\) 一遍即可。

对于一些存在特殊性质的图，一定要想清楚这个性质有什么用，可以从特殊的图入手，再推广到一般情况。

P8331 [ZJOI2022] 简单题

依然是考虑有 “美好性质” 的图长成什么样。

数所有简单路径的权值之和，可以考虑将每一条路径拆解成若干段（按照割点来拆）。

那么此题关键就是如何求解同一个点双中间的路径方案数。

我们维护两个东西，方案数和权值和，同一个点双最多两种不同走法，在圆方树上维护一个矩阵，特殊考虑一下 \(\text{lca}\) 处即可。

仔细思考题中所给的性质对于解题有什么用！

P8346 「Wdoi-6」最澄澈的空与海

猜性质：每次挑选一个度数为一的点将其删去。

证明略，大胆猜结论吧。

Gym104197 D. Distance Parities

猜结论：如果最短路为奇数，则连一条边。

可以归纳的考虑，有解的情况下这样做一定是正确的，在建完图之后跑一遍 \(\text{floyd}\) 即可。

Gym104197 F. F*** 3-Colorable Graphs

这题手玩一下可以发现，操作次数在 \(2,3\) 之间，那么只需要判断是哪一个即可。

怎么判断呢？手玩发现当且仅当存在四元环时只需操作 \(2\) 次，检查一遍是否存在四元环即可。

四元环计数

用于求解无向图 \(G\) 中存在多少个四元环。

将所有点按照度数从大到小排序，相同的按编号排，记 \(i\) 号点排名为 \(rk_i\) ，对于原图中的每一条边 \((i,j)\) ，如果 \(rk_i<rk_j\) 则在新图中连有向边 \((i,j)\) ，否则连有向边 \((j,i)\) 。

在新图中对四元环进行计数，枚举每个点 \(u\) ，再枚举 \(u\) 通过新图中的边能到达的点 \(v\) ，再枚举 \(v\) 能通过原图中的边能到达的每个点 \(w\) ，需要满足 \(rk_w>rk_u\) ，加上 \(w\) 处的标记，再更新一下 \(w\) 处的标记即可。

参考资料：三元环计数&四元环计数 。

Gym104197 K. King of Swapping

猜结论：将 \((a_i,b_i)\) 视为有向边，原图必须强联通。

正确性显然，因为只有这样才能任意移动数字。

CF718E. Matvey's Birthday

每次最多连续走两个相同字符，则直径的长度不会超过 \(15\) 。

记 \(dist_{i,j}\) 表示从 \(i\) 点到 \(j\) 的最短路，\(f_{x,c}\) 表示从 \(x\) 出发走到一个字符为 \(c\) 的位置最短路，\(g_{i,j}\) 表示从一个字符为 \(i\) 的位置走到一个字符为 \(j\) 的位置最短路。

\(g\) 可以通过从每一个字符开始进行一遍 \(\text{bfs}\) 来求解。

并且 \(f_{i,j}\) 的取值仅有 \(g_{s_i,j},g_{s_i,j}+1\) 两种，可以通过状压记录其取值是哪一种。

则有：

\[dist_{i,j}=\min_{c=0}^7(|i-j+1|,f_{i,c}+f_{j,c}+1) \]

对于 \(i\) 之前 \(15\) 个位置，暴力转移。

对于更之前的位置，其只会取到右边那一坨式子的值，对于相同的分一类即可。

CF986 F. Oppa Funcan Style Remastered

很重要的一点是：平凡因子是没用的，当且仅有质因子有用。

这就可以对原问题进行一个非常有用的转化：

是否存在非负整数序列 \(a_1,a_2,...,a_m\) ，满足：

\[n=a_1p_1+a_2p_2+...+a_mp_m \]

其中 \(p\) 是 \(k\) 所有质因子。

对这个式子直接 同余最短路 求解即可。

由于 \(n\) 很大，需要对于 \(m\) 分类讨论一下：

• \(m=1\) ，直接讨论即可。
• \(m=2\) ，\(\text{exgcd}\) 求解。
• \(m=3\) ，跑同余最短路，由于是考察的模最小的一个质因子的值，点数是 \(k^{\frac{1}{3}}\) 级别的，这样就可以通过了。