$\text{Berlekamp–Massey}$ 算法

该算法可以在 \(O(n^2)\) 的复杂度内求解线性递推数列的递推式。其中 \(n\) 为递推式阶数。此法常用于 打表找规律 。

接下来具体讲解一下算法流程。

考虑一个很 \(\text{naive}\) 的想法：假设我们已经求解出了一个递推式 \(g\) ，使得对于 \(\forall i<n\) 都满足 \(f_{j}=\sum_\limits{j=1}^ka_jf_{n-j}\) 。现在我们来让其能够对 \(n\) 也可以满足。分成两种情况：一种是按照这个递推式就是正确的，那就不用管；如果按照当前的递推式和第 \(n\) 项实际值不一样，那就考虑加上一些修正，使得其将 \(n\) 代入时结果与实际一致。

假设现在计算值和实际值的差值为 \(s\) ：

\[\sum_{j=1}^ka_jf_{n-j}-f_n=s \]

之前上一个失配的位置 \(m\) ，满足：

\[\sum_{j=1}^{k'}a^{'}_{j}f_{m-j}-f_m=t \]

其中 \(a'\) 为当时失配需要修正的递推式。这个式子有一个非常优美的性质：当时这个递推式符合第 \(m\) 项之前的每一项，也就是对于 \(\forall i<m\) 上面式子的取值都为 \(0\) ，恰好只在取值为 \(m\) 时有值。

考虑将其应用到第 \(n\) 项的修正中，让原先在 \(m\) 处的取值贡献到 \(n\) 上，\(m-1\) 处的取值贡献到 \(n-1\) 上，以此类推。由于只在 \(m\) 处取值非零，因此只会影响到当前需要修正的这一项，不会改变之前项的正确性。

具体修正：

\[f_n=\sum_{j=1}^ka_jf_{n-j}+s \]

\[f_n=\sum_{j=1}^ka_jf_{n-j}+\frac{s}{t}\cdot t \]

\[f_n=\sum_{j=1}^ka_jf_{n-j}+\frac{s}{t}\left(\sum_{j=1}^{k'}a_j^{'}f_{m-j}-f_m\right) \]

将递推式对应为相加减即可。

点击查看代码

inline vc<int> BM(int n,int *f) {
	vc<int> a[n+2],val; val.resize(n+2); int lst=0,s,t,fr;
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		s=P-f[i];
		for(int j=0;j<a[i].size();j++) inc(s,1ll*a[i][j]*f[i-j-1]%P);
		val[i]=s; t=val[lst]; 
		if(!s) { a[i+1]=a[i]; continue; }
		if(!lst) { lst=i; a[i].pb(0); a[i+1]=a[i]; continue; }
		fr=1ll*s*inv(t)%P;
		while(a[i].size()<i-lst+a[lst-1].size()) a[i].pb(0);
		inc(a[i][i-lst-1],fr);
		for(int j=0;j<a[lst-1].size();j++) dec(a[i][i-lst+j],1ll*fr*a[lst-1][j]%P);
		lst=i; a[i+1]=a[i];
	}
	return a[n];
}