Codeforces 做题记录

CF1753C. Wish I Knew How to Sort

首先设原序列包含 \(m\) 个 \(0\) ，并且初始状态中前 \(m\) 个位置中有 \(k\) 个 \(0\) 。

考虑 \(DP\) ，设 \(f[i]\) 表示前 \(m\) 个位置中有 \(i\) 个 \(1\) 的期望操作次数。

转移较为容易：

\[f_i=p\cdot f_{i+1}+(1-p)\cdot f_i+1 \]

其中 \(p=\frac{2(n-i)^2}{n(n-1)}\) 。

CF1744F. MEX vs MED

我们从 \(0\) 开始从小到大加数，维护恰好包含了 \(0-i\) 这些数的区间 \([L,.R]\)。此时包含我们维护的这个区间的区间的 \(mex\) 一定大于 \(i\) 。

我们想要让 \(med<=i\) ，那么区间长度 \(len<=2(i+1)\) 。我们计算出有多少个长度为 \(2(i+1)\) 和 \(2i+1\) 的区间包含\([L,R]\) 。

这样显然是不重不漏的。

CF1748D. ConstructOR

转化一下题目：我们要找到一个 \(d\) 的倍数，满足其在二进制表示下包含 \(a |b\) 。

这题有这么一条关键的性质：

• 令 \(x\) 是 \(y\) 的倍数，那么一定满足 \(lowbit(x)>=lowbit(y)\)

这样我们考虑无解的情况，如果 \(min(lowbit(a),lowbit(b))<lowbit(d)\) 。

否则的话我们有一种构造方案，满足一定有解。

记当前处理出来的答案为 \(res\) 我们从低位到高位考虑，记 \(lowbit(d)=x\) 如果 \(res\) 第 \(i\) 位等于 \(0\) ，\(a|b\) 第 \(i\) 位不等于 \(0\) ，我们就让 res+=d<<(i-x) 。

这样的话最坏情况下，沟造出来的数为 \(1+2d+d\cdot 2^2+...+d\cdot 2^{29}\) ，由于 \(d<2^{30}\) ，所以构造出来的 \(res<=2^{60}\) 。

CF1748E. Yet Another Array Counting Problem

不难发现，我们需要让 \(b\) 序列的相对大小关系与 \(a\) 序列相等。由于 \(\sum n\cdot m \leq 10^6\) ，我们将原树建笛卡尔树，对于每个节点，我们令 \(f_{i,j}\) 表示在 \(i\) 结点填 \(j\) 的方案数。转移如下：

\[f_{i,j}=\sum_{k=1}^{j-1}f_{ls,k}\cdot \sum_{t=1}^j f_{rs,t} \]

状态数最多只有 \(10^6\) ，直接记忆化搜索就能过。

CF1743F. Intersection and Union

对于本题，直接计算每一种情况的贡献非常困难，因此我们考虑：拆贡献 。我们单独计算出每一个数会存在于最终答案的方案数，然后求和即可。

对于每一个数 \(x\) ，我们设计 \(DP\) ，设 \(f[i][0/1]\) 表示已经完成了前 \(i\) 次操作，\(x\) 这个数是否剩下的方案数。

考虑转移，对于第 \(i\) 个区间包含 \(x\) 和不包含 \(x\) 分开考虑。

1. 包含

\[f_{i,0}=f_{i-1,0}+f_{i-1,1} \]

\[f_{i,1}=2f_{i-1,0}+2f_{i-1,1} \]

2. 不包含

\[f_{i,0}=3f_{i-1,0}+f_{i-1,1} \]

\[f_{i,1}=2f_{i-1,1} \]

对于这种 \(f_i\) 的状态仅与 \(f_{i-1}\) 有关，且系数较为好处理的，我们可以考虑 \(ddp\) 。

我们把转移方程写成系数的形式：

\[\begin{bmatrix} f_{i,0} \\ f_{i,1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&1\\ 2&2 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} f_{i-1,0} \\ f_{i-1,1} \end{bmatrix} \]

\[\begin{bmatrix} f_{i,0}\\ f_{i,1} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 3&1\\ 0&2 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} f_{i-1,0}\\ f_{i-1,1} \end{bmatrix} \]

线段树维护一下，对于每个区间是否包含就是单点修。