CF980D Perfect Groups

题目大意

将一个串划分为多个子集（不要求连续），要求同一子集内两任意元素的积为平方数。

定义一个串的答案为所需的最少子集个数。

一个长度为 $n$ 的串有 $\frac{n(n+1)}{2}$ 个非空子串，求答案为 $1,2,3,\cdots ,n$ 的非空子串个数。

解题思路

结论：

若 $ab$ 为平方数，$bc$ 为平方数，则 $ac$ 为平方数。

证明：

根据唯一分解定理，有：

$$a=\prod_{i=1}^{k}p_i^{a_i}\\ b=\prod_{i=1}^{k}p_i^{b_i}\\ c=\prod_{i=1}^{k}p_i^{c_i}$$

上述 $p_i$ 为质数。

因为 $ab$ 为平方数，$bc$ 为平方数，那么有：

$$\forall i\in[1,k],2|a_i+b_i\\ \forall i\in[1,k],2|b_i+c_i$$

得：

$$\forall i\in[1,k],2|a_i+c_i$$

那么 $ac$ 为平方数。

证毕。

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再看原题。

根据上面得结论，我们可以把 $a_i \times a_j$ 为平方数的用并查集维护。

那么在同一个集内的数都满足两任意元素的积为平方数。

那么逐个区间求即可，时间复杂度 $\mathcal O(n^2)$。

注意 $a_i=0$ 的情况。

CODE

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define int long long

inline int read()
{
	int x = 0, f = 1;
	char c = getchar();
	while(c < '0' || c > '9')
	{
		if(c == '-') f = -1;
		c = getchar();
	}
	while(c >= '0' && c <= '9')
	{
		x = x * 10 + c - '0';
		c = getchar();
	}
	return x * f;
}

const int _ = 5007;

int n, a[_], fa[_], vis[_], ans[_];

int find(int x)
{
	return fa[x] == x ? x : fa[x] = find(fa[x]);
}

signed main()
{
	n = read();
	for(int i = 1; i <= n; ++i)
	{
		a[i] = read();
		fa[i] = i;
	}
	for(int i = 1; i <= n; ++i)
		for(int j = 1; j < i; ++j)
			if(a[i] * a[j] > 0)
			{
				int tmp = (int)sqrt(a[i] * a[j]);
				if(tmp * tmp == a[i] * a[j])
					fa[find(j)] = find(i);
			}
	for(int i = 1; i <= n; ++i)
	{
		int tot = 0;
		memset(vis, 0, sizeof vis);
		for(int j = i; j <= n; ++j)
			if(!a[j])
				ans[max(1ll, tot)]++;
			else
			{
				if(!vis[find(j)])
				{
					vis[find(j)] = 1;
					tot++;
				}
				ans[tot]++;
			}
	}
	for(int i = 1; i <= n; ++i) printf("%lld ", ans[i]);
	return 0;
}