一个经验公式(已得证)

网课期间碰到的，故作记录。

公式

对于 $ ( 1 + a x ) ^ n $( $ a , n $ 为常数且 $ a \in R^+ , n \in N^* $ , $ x $ 为变量)

其系数最大项为第

\[\lfloor \frac { a ( n + 1 ) } { a + 1 } \rfloor + 1 \]

项，此处为二项式展开从左往右的项数，也就是组合数从 $ 0 $ 开始数。

但是注意，这个式子只能保证正确，但并非唯一。当 $ a+1 \mid a (n+1) $ 时，有两解，分别为该公式的解和比它小 $ 1 $ 的项。

一个对于服从二项分布的概率最大取值的应用

不难发现，这个公式可以应用在求 $ \xi \sim B ( n , p ) $ ( $ n , p $ 为常数) 中求使 $ P ( \xi = k ) $ 最大的 $ k $ 的值的问题。

因为 $ P ( \xi = k ) = C_n^k * p^k * (1-p)^ { n-k } $ ，假设 $ d = \frac { p } { 1-p } $ ，那么原式就化为了 $ P ( \xi = k ) = C_n^k * d^k * ( 1-p )^ n $ ，其中 $ ( 1-p )^n $ 是常数可以不纳入考虑，于是我们发现问题转化成了求 $ (1+dx)^n $ 系数最大项 $ - 1 $ 。

代入公式，得到答案即为

\[\lfloor \frac { d ( n + 1 ) } { d + 1 } \rfloor \]

代入 $ d = \frac { p } { 1 - p } $ 长得太丑没意义，就不放了。

存在多解的原则和原公式一致。

证明

首先显然一点：这个函数是有单峰性的。
原因很简单：组合数函数有单峰性，而幂函数有单调性，所以它们的积有单峰性。

那么我们就可以考虑比较相邻两项大小来寻找解。

假定我们现在比较第 $ k + 1 $ 项和第 $ k + 2 $ 项( $ 0 \le k \le n - 1 $ )，考虑求商比较法，则有

\[\frac { C_n^{k+1} * a^{k+1} } { C_n^k * a^k } = \frac { n! * k! * (n-k)! * a } { n! * (k+1)! * (n-k-1)! } = \frac { (n-k) *a } { k+1 } \]

显然可以得出结论：当第一次出现

\[\frac { (n-k) *a } { k+1 } \lt 1 \]

时，$ k+1 $ 即为所求解。

所以就变成了找出

\[\frac { (n-k) *a } { k+1 } \lt 1 \]

最小解。

简单化简可得

\[k \gt \frac { a*n-1 } {a+1} \]

因为 $ k $ 是整数，所以

\[k = \lfloor \frac { a*n-1 } {a+1} \rfloor +1 \\ = \lfloor \frac { a(n+1) } { a+1 } \rfloor \]

对于特例：当 $ a+1 \mid a(n+1) $ ，显然 $ k = \frac {
a(n+1) } { a+1 } $ 时第 $ k+1,k+2 $ 项相等，即特殊情况中的两解。

证毕。

注意事项

这是个经验公式，所以仅可在选填中使用，解答题证明过程书写不便得不偿失（虽然一般不会考成解答题）。