统计学习：逻辑回归与交叉熵损失（Pytorch实现）

1 Logistic 分布和对率回归

监督学习的模型可以是概率模型或非概率模型，由条件概率分布\(P(Y|\bm{X})\)或决 策函数(decision function)\(Y=f(\bm{X})\)表示，随具体学习方法而定。对具体的输入\(\bm{x}\)进行相应的输出预测并得到某个结果时，写作\(P(y|\bm{x})\)或\(y=f(\bm{x})\)。

我们这里的 Logistic 分类模型是概率模型，模型\(P(Y|\bm{X})\)表示给定随机向量\(\bm{X}\)下，输出类别\(Y\)的条件概率分布。这里我们只讨论二分类问题，后面我们介绍多层感知机的时候会介绍多分类问题，道理是一样的。

首先，我们先来介绍 Logistic 分布。

Logistic 的分布函数为：

\[F(x) = P(X<=x) = \frac{1}{1+e^{-(x-u)/\gamma}} \]

该分布函数的图像为：

该函数以点\((u,1/2)\)中心对称，在中心附近增长速度较快，在两端增长速度较慢。

我们后面对于未归一化的数\(z\)，采用\(\text{sigmoid}\)函数

\[σ(z) = \frac{1}{1 + \text{exp}(−z)} \]

将其“压”在(0, 1)之间。这样就可以使\(z\)归一化，一般我们使归一化后的值表示置信度（belief），可以理解成概率，但是与概率有着细微的差别，更体现 “属于××类的把握”的意思。

对于二分类，输出\(Y=0\)或\(Y=1\)，我们将\(P(Y=0| \bm{x})\)和\(P(Y=1|\bm{x})\)表示如下，也就定义了二项逻辑回归模型：

\[\begin{aligned} P(Y=1|\bm{x}) &= \sigma(\bm{w}^T\bm{x}+b) \\ &= \frac{1}{1+\text{exp}(-(\bm{w}^T\bm{x}+b))} \end{aligned}\space (1) \\ \begin{aligned} P(Y=0|\bm{x}) &= 1-\sigma(\bm{w}^T\bm{x}+b) \\ &= \frac{1}{1+\text{exp}(\bm{w}^T\bm{x}+b)} \end{aligned} \qquad (2) \]

现在考察 Logistic 回归模型的特点，一个事件的几率(odds)是指该事件发生的概率与不发生的概率的比值。如果事件发生的概率是\(p\)，那么该事件的几率是\(p/(1-p)\)，该事件的对数几率(log odds，简称对率)或 logit 函数是

\[\text{logit}(p) = \text{log}\space p/(1-p) \]

对 Logistic 回归而言，由式子\((1)\)和式子\((2)\)得到:

\[\text{log}\frac{P(Y = 1|\bm{x})}{1 − P(Y = 1|\bm{x})} = \bm{w}^T\bm{x} + b \]

这玩意在统计学里面称之为“对率回归”，其实就是“Logistic regression 名称”的由来。这里的 Logistic 和“逻辑”没有任何关系，和对率才是有关系的。 可以看出，输出\(Y=1\)的对数几率是由输入\(\bm{x}\)的线性函数表示的模型，即 Logistic 回归模型。

2 Logistic 回归模型的参数估计

我们在《统计推断：极大似然估计、贝叶斯估计与方差偏差分解》)中说过，从概率模型的视角来看，机器模型学习的过程就是概率分布参数估计的过程，这里就是估计条件概率分布\(P(Y|\bm{X})\)的参数\(\bm{θ}\)。对于给定的训练数据集\(T=\{\{\bm{x}_1, y_1\},\{\bm{x}_2, y_2\}, \dots, \{\bm{x}_N, y_N\}\}\)，其中，\(\bm{x}_i∈\mathbb{R}^n\)，\(y_i∈\{0, 1\}\)，可以应用极大似然估计法估计模型参数，从而得到Logistic回归模型。

我们设\(P(Y=1|x)=π(\bm{x})\)，\(P(Y=0|\bm{x})=1-π(\bm{x})\)，很显然\(P(Y|\bm{x})\)服从一个伯努利分 布，不过这个伯努利分布很复杂，它的参数\(p\)是一个函数\(π(\bm{x})\)。我们这里采用一个抽象的观念，将函数\(π(\bm{x})\)看做一个整体，这样\(P(Y|\bm{x})\)服从二项分布，可以方便我们理解。我们的参数\(\bm{θ}=(w, b)\)，不过我们还是采用之前的技巧，将权值向量和输入向量加以扩充，直接记做\(\bm{θ}=\bm{w}\)。

这样，对于\(N\)个样本，定义似然函数：

\[L(\bm{w}|\bm{x}_1,\bm{x}_2,...,\bm{x}_N) = \Pi_{i=1}^N[\pi(\bm{x}_i)]^{y_i}[1-\pi(\bm{x}_i)]^{1-y_i} \]

因为函数比较复杂，我们采用数值优化进行求解。然而这个函数是非凸的， 如果直接用数值迭代算法作用于次函数，可能陷入局部最优解不能保证到收敛到全局最优解。我们为了将其变为负对数似然函数（想一想为什么要取负号），也就是一个凸函数，方便用梯度下降法、牛顿法进行求解：

\[-L(\bm{w}|\bm{x}_1,\bm{x}_2,...,\bm{x}_N) = -\sum_{i=1}^N[y_i\text{log}\space \pi(\bm{x}_i)+(1-y_i)\text{log}(1-\pi(\bm{x}_i))] \]

配凑 \(1/N\)转换为关于数据经验分布期望的无偏估计 ，即\(\mathbb{E}_{\bm{x}\sim \hat{p}_{data}}\text{log}\space p_{model}(\bm{x}_i| \bm{\theta})\)而不改变目标函数的优化方向。

\[-\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N[y_i\text{log}\space \pi(\bm{x}_i)+(1-y_i)\text{log}(1-\pi(\bm{x}_i))] \]

上面这个式子，就是我们在深度学习里面常用的交叉熵损失函数(cross entropy loss function)的特殊情况。（交叉熵损失函数一般是多分类，这里是二分类）。后面我们会学习，在深度学习领域中，我们用\(f(\cdot)\)表示神经网络对输入\(\bm{x}\)加以的 映射（这里没有激活函数，是线性的映射），\(f(\bm{x})\)就是输出的条件概率分布\(P(Y|\bm{X}=\bm{x})\)。 设类别总数为\(K\)，\(\bm{x}_i\)为第\(i\)个样本的特征向量(特征维度为\(D\))，\(f(\bm{x}_i)\)输出维度也为\(K\)。\(f(\bm{x}_i)_k\)表示\(P(y_k | \bm{x}_i)\)。因为是多分类，\(P(y_k | \bm{x}_i)\)的计算方法就不能通过\(\text{sigmoid}\)函数来得到了，取而代之是更通用的\(\text{softmax}\)函数。我们给定输入样本\(\bm{x}\)，设其被预测为第\(k\)类的logit \(z_k=\sum_{j=1}^Dw_{kj}x_{j}\)，其中\(\textbf{W} ∈\mathbb{R}^{K\times D}\)神经网络的权重矩阵\(D\)为特征向量维度，\(K\)为类别总数。则我们有：

\[f(\bm{x})_k = \text{softmax}(\bm{z})_k=\frac{\text{exp}(z_k)}{\sum_{k^{\prime}}\text{exp}(z_{k^{\prime}})} \]

我们规定第\(i\)个样本的训练标签\(\bm{y}_i\)为\(K\)维one-hot向量。则交叉熵函数表述如下：

\[-\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N\sum_{k=1}^K y_{ik}\text{log}f(\bm{x}_i)_k \]

因为\(\bm{y}_i\)为 one-hot 向量，只有一个维度为 1，设这个维度为\(c\)（即表示类别\(c\)），则交叉熵函数可以化简为：

\[-\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N \text{log}f(\bm{x}_i)_c \]

这里\(f(\bm{x}_i)_c=\frac{\text{exp}(z_c)}{\sum_{k}\text{exp}(z_k)}\)。

很明显，如果\(f(\bm{x}_i)_c\)越大，表示神经网络预测\(\bm{x}_i\)样本类别为第\(c\)类的概率越大。这也是目标函数优化的方向——即对于类别为\(c\)的样本\(\bm{x}_i\)，优化器尽量使样本\(\bm{x}_i\)被预测为第\(c\)类的logits（也即\(z_c\)）更大，而使其被预测为其它类别的logits（也即\(z_{k\neq c}\)）更小。如果你对这点有疑惑，可以进一步将\(f(\bm{x}_i)_c\)写成\(\frac{1}{1 + \sum_{k \neq c}\text{exp}(z_{k} - z_c)}\)，这样看的更明显一些，这就是糖水不等式\(\frac{b + c}{a + c} > \frac{b}{a} (a>b>0, c>0)\)的原理233。

注 关于sigmoid函数和softmax函数的联系和区别这里额外强调一下。首先softmax函数是sigmoid函数在多分类情况下的扩展。不过，即使在二分类的情况下，二者也有一些区别。比如给定一个正类样本\(\bm{x}\)（其训练标签\(y=1\)），设\(z = \bm{w}^T\bm{x}+b\in\mathbb{R}\)，sigmoid函数会使得下列概率最大化：

\[P(Y=1|\bm{x}) = σ(z) = \frac{1}{1 + \text{exp}(−{z})} \]

这里本质上是在使得\(z\)最大化。

而对softmax函数而言，设\(\bm{z} = \bm{W}\bm{x}+b\in\mathbb{R}^2\)。则对于正类样本（其训练标签为一个one-hot向量\(\bm{y}\)，满足\(y_1=1, y_2 = 0\)），softmax函数会使得下列概率最大化：

\[P(Y=1|\bm{x}) = \text{softmax}(\bm{z})_1=\frac{\text{exp}(z_1)}{\text{exp}(z_1) + \text{exp}(z_2)} =\frac{1}{1 + \text{exp}(z_2 - z_1)} \]

这里不但使得\(z_1\)最大化，而且还使得\(z_2\)最小化。
因此我们可以认为对softmax而言，参与其中的单元之间形成了竞争，这和神经科学中的现象很吻合。事实上，softmax的输出总满足和为1，所以一个单元的值增加必然对应着其他单元值的减少。这与皮质中相邻神经元间的侧抑制类似。在极端情况下，它变成了赢者通吃（winner-take-all） 的形式（其中一个输出接近1，其它的接近0）。

如下为使用梯度下降法求解二分类逻辑回归问题（并采用breast_cancer数据集进行测试，该数据集是二分类数据集）：

from locale import normalize
import numpy as np
import random
import torch
from sklearn.datasets import load_breast_cancer
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.metrics import accuracy_score
# batch_size表示单批次用于参数估计的样本个数
# y_pred大小为(batch_size, 1)
# y大小为(batch_size, )，为类别型变量
def cross_entropy(y_pred, y):
    y = y.reshape(-1, 1)
    return -(torch.mul(y, torch.log(y_pred)) + torch.mul(1-y, torch.log(1-y_pred))).sum()/y.shape[0]

# 前向函数
def logistic_f(X, w): 
    z = torch.matmul(X, w).reshape(-1, 1) 
    return 1/(torch.exp(-z) + 1)

# 之前实现的梯度下降法，做了一些小修改
def gradient_descent(X, w, y, n_iter, eta, loss_func, f):
    for i in range(1, n_iter+1):
        y_pred = f(X, w)
        #print(y_pred)
        loss_v = loss_func(y_pred, y)
        #print(loss_v)
        loss_v.backward() 
        with torch.no_grad(): 
            w -= eta*w.grad
        w.grad.zero_()  
    w_star = w.detach()
    return w_star 

# 迭代次数
n_iter = 600

# 学习率
eta = 10 # 因为我们前面loss除了样本总数，这里调大些

if __name__ == '__main__':

    X, y = load_breast_cancer(return_X_y=True)

    D = X.shape[1]
    X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(
        X, y, test_size=0.3, random_state=0)
    n_train, n_test = X_train.shape[0], X_test.shape[0]

    # 初始化权重（含偏置）
    w = torch.tensor(2 * np.random.ranf(size=D + 1) - 1, requires_grad=True)
    print(w)
    
    # 扩充1维
    X_train = torch.tensor(np.concatenate([X_train, np.ones([X_train.shape[0], 1])], axis=1))
    X_train = torch.nn.functional.normalize(X_train) # 先归一化，否则后面sigmoid部分输出无穷趋近于0，导致log()得-inf
    X_test = torch.tensor(np.concatenate([X_test, np.ones([X_test.shape[0], 1])], axis=1))
    X_test = torch.nn.functional.normalize(X_test) # 先归一化，否则后面sigmoid部分输出无穷趋近于0，导致log()得-inf

 
    y_train, y_test = torch.tensor(y_train), torch.tensor(y_test)

    # 调用梯度下降法对函数进行优化
    # 这里采用单次迭代对所有样本进行估计，后面我们会介绍小批量法减少时间复杂度
    w_star = gradient_descent(X_train, w, y_train, n_iter, eta, cross_entropy, logistic_f)
    print(w_star)
    
    y_pred = logistic_f(X_test, w_star)
    pred_label = torch.where(y_pred < 0.5, 0, 1)
    acc = accuracy_score(y_test, pred_label)
    print("accuracy: %f" % (acc))

注意输入数据要先归一化到(0, 1)，否则后面\(|Xw + b|\)过大，以致\(Xw + b<0\)时使sigmoid函数的输出无穷趋近于0，最终导致log函数得-inf。我们来看一下算法的输出结果。初始权重向量、最终得到的权重向量和模型精度如下：

Initial w: tensor([-0.3109, -0.4637, -0.0326,  0.0081, -0.0108, -0.9996, -0.2989,  0.2311,
        -0.9197,  0.7227,  0.2692,  0.4146,  0.6281, -0.8207,  0.3153,  0.9207,
        -0.4418,  0.6558, -0.1684,  0.9044, -0.7847, -0.1003, -0.2369, -0.0608,
        -0.3722,  0.3982, -0.7417, -0.8493,  0.0326,  0.1718, -0.3145],
       dtype=torch.float64, requires_grad=True)
Final w: tensor([  3.0186,   5.7167,  19.8512,  18.5805,   0.0232,  -1.0004,  -0.3366,
          0.2130,  -0.8558,   0.7494,   0.2977,   0.9121,   0.7568,  -6.9429,
          0.3183,   0.9233,  -0.4391,   0.6570,  -0.1606,   0.9056,   2.5354,
          7.5881,  19.1409, -19.0107,  -0.3286,   0.3691,  -0.8191,  -0.8705,
          0.1200,   0.1985,   0.1274], dtype=torch.float64)
Final acc: 0.918129

可见模型收敛正常。

如下是多分类逻辑回归问题，我们需要将\(\text{sigmoid}\)函数修改为\(\text{softmax}\)函数，损失函数修改为更为通用的交叉熵函数，根据输出维度变化将权重向量修改为权重矩阵等。我们采用iris数据集进行测试，该数据集是一个3分类数据集。

from locale import normalize
import numpy as np
import random
import torch
from sklearn.datasets import load_iris
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.metrics import accuracy_score
# batch_size表示单批次用于参数估计的样本个数
# n_feature为特征向量维度
# n_class为类别个数
# y_pred大小为(batch_size, n_class)
# y大小为(batch_size, )，为类别型变量
def cross_entropy(y_pred, y):
    # 这里y是创建新的对象，这里将y变为(batch_size. 1)形式
    y = y.reshape(-1, 1)
    return -torch.log(torch.gather(y_pred, 1, y)).sum()/ y_pred.shape[0]

# 前向函数，注意，这里的sigmoid改为多分类的softmax函数
def logistic_f(X, W): 
    z = torch.matmul(X, W)
    return torch.exp(z)/torch.exp(z).sum()

# 之前实现的梯度下降法，做了一些小修改
def gradient_descent(X, W, y, n_iter, eta, loss_func, f):
    for i in range(1, n_iter+1):
        y_pred = f(X, W)
        loss_v = loss_func(y_pred, y)
        loss_v.backward() 
        with torch.no_grad(): 
            W -= eta*W.grad
        W.grad.zero_()  
    W_star = W.detach()
    return W_star 

# 迭代次数
n_iter = 1200

# 学习率
eta = 1 # 因为我们前面loss除了样本总数，这里也要调大些

if __name__ == '__main__':

    X, y = load_iris(return_X_y=True)

    n_classes = y.max() - y.min() # 分类类别总数
    D = X.shape[1]
    X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(
        X, y, test_size=0.3, random_state=0)
    n_train, n_test = X_train.shape[0], X_test.shape[0]

    # 初始化权重（含偏置）
    W = torch.tensor(2 * np.random.ranf(size=(D + 1, n_classes)), requires_grad=True)
    print("Initial W: %s" % W)
    
    # 扩充1维
    X_train = torch.tensor(np.concatenate([X_train, np.ones([X_train.shape[0], 1])], axis=1))
    X_train = torch.nn.functional.normalize(X_train) # 先归一化，否则后面sigmoid输出无穷趋近于0，导致log()得-inf
    X_test = torch.tensor(np.concatenate([X_test, np.ones([X_test.shape[0], 1])], axis=1))
    X_test = torch.nn.functional.normalize(X_test) # 先归一化，否则后面sigmoid输出无穷趋近于0，导致log()得-inf

    print(y_test)
    y_train, y_test = torch.tensor(y_train), torch.tensor(y_test)

    # 调用梯度下降法对函数进行优化
    # 这里采用单次迭代对所有样本进行估计，后面我们会介绍小批量法减少时间复杂度
    W_star = gradient_descent(X_train, W, y_train, n_iter, eta, cross_entropy, logistic_f)
    print("Final w: %s" % W_star)
    
    y_pred = logistic_f(X_test, W_star)
    pred_label = torch.argmax(y_pred, axis=1)

    acc = accuracy_score(y_test, pred_label)
    print("Final acc: %f" % (acc))

同样需要注意输入数据要先归一化到(0, 1)。我们来看一下算法的输出结果。初始权重向量、最终得到的权重向量和模型精度如下（同样，权重最后一行为偏置向量\(\bm{b}\)。因为是多分类，每一个类别维度\(k\)都会对应一个偏置\(b_k\)）：

Initial W: tensor([[0.2088, 0.7352, 1.3713],
        [0.6877, 0.1925, 0.7291],
        [0.4245, 1.7149, 1.8838],
        [0.5134, 1.7090, 0.8319],
        [1.8033, 1.8256, 0.1155]], dtype=torch.float64, requires_grad=True)
Final w: tensor([[ 3.8652,  4.2337, -2.7884],
        [ 5.9122, -3.3024, -3.2518],
        [-7.2260,  3.5287, 10.9562],
        [-3.4692, -1.2400,  7.3598],
        [ 3.5502,  3.5274, -2.3503]], dtype=torch.float64)
Final acc: 0.933333

可见模型收敛正常。

参考

• [1] 李航. 统计学习方法(第2版)[M]. 清华大学出版社, 2019.
• [2] 周志华. 机器学习[M]. 清华大学出版社, 2016.
• [3] Goodfellow I, Bengio Y, Courville A. Deep learning[M]. MIT press, 2016.
• [4] Pytorch官网： torch.nn.functional.normalize 函数
• [5] Scikit Learn 文档： Toy datasets