【BZOJ】3173: [Tjoi2013]最长上升子序列（树状数组）

【题意】给定ai，将1~n从小到大插入到第ai个数字之后，求每次插入后的LIS长度。

【算法】树状数组||平衡树

【题解】

这是树状数组的一个用法：O(n log n)寻找前缀和为k的最小位置。（当数列中只有0和1时，转化为求对应排名的数字，就是简单代替平衡树）

根据树状数组的二进制分组规律，从大到小进行倍增，可以发现每次需要加的Σa[i],i∈(now,now+(1<<i)]刚好就是c[now+(1<<i)]。

文字表述就是，跳跃到的位置的c[]刚好表示中间跳跃的数字和，这是树状数组二进制分组规律的特殊性质。

还需要注意的是，实际上需要寻找前缀和<k的最大位置，最后+1。(否则会被目标数字后面的0干扰）

 

利用上述的方法，初始树状数组全部置为1，然后从n到1倒着寻找并删除，就可以得到每个数字在最终序列中的位置。

这道题由于从小到大插入，可以发现将所有数字全部插入也不会破坏过程中需要的LIS（只会在最后增长）。

那么第i个答案就是以数字1~i结尾的LIS的最长长度。

所以令f[i]表示最终序列中以数字 i 结尾的LIS，则第i个答案就是min(f[j]),j=1~i。（是数字i，不是第i个位置）

求解f[i]只需在O(n log n)求解整个最终序列的LIS的过程中求出即可。

总复杂度O(n log n)。

 

最后，代码中运用的线性构造树状数组，原理十分简单。

首先要求1~n都有数字（0也行），然后每个数加到自身c[i]+=a[i]，再贡献一下父亲c[i+lowbit(i)]+=c[i]就可以了。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cctype>
#define lowbit(x) (x&-x)
using namespace std;
const int maxn=100010;
int a[maxn],b[maxn],c[maxn],g[maxn],anss[maxn],n;
int read(){
    char c;int s=0,t=1;
    while(!isdigit(c=getchar()))if(c=='-')t=-1;
    do{s=s*10+c-'0';}while(isdigit(c=getchar()));
    return s*t;
}
void insert(int x,int k){for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))c[i]+=k;}
int find(int x){
    int now=0,ans=0;
    for(int i=20;i>=0;i--){
        now+=(1<<i);
        if(now<n&&ans+c[now]<x)ans+=c[now];//< near
        else now-=(1<<i);
    }
    now++;
    insert(now,-1);
    return now;
}
int max(int a,int b){return a<b?b:a;}
int main(){
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;i++){
        a[i]=read();
        c[i]++;c[i+lowbit(i)]+=c[i];
    }
    for(int i=n;i>=1;i--)b[find(a[i]+1)]=i;
    int m=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int s=lower_bound(g+1,g+m+1,b[i])-g;
        if(s>m)g[++m]=b[i];else g[s]=b[i];
        anss[b[i]]=s;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        anss[i]=max(anss[i-1],anss[i]);
        printf("%d\n",anss[i]);
    }
    return 0;
}

 

补充平衡树写法（fhq-treap）。

每个点记录以这个点结尾的LIS，然后插入平衡树中，平衡树维护区间max值。

怎么得到以每个点结尾的LIS？因为当前加入的点不可能改变之前的点的LIS，所以只需要区间查询该点插入位置之前的max+1就是以这个点结尾的LIS。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cctype>
using namespace std;
const int maxn=100010;
struct cyc{int l,r,rnd,num,mx,sz;}t[maxn];
int root,n;
int read(){
    char c;int s=0,t=1;
    while(!isdigit(c=getchar()))if(c=='-')t=-1;
    do{s=s*10+c-'0';}while(isdigit(c=getchar()));
    return s*t;
}
void up(int k){
    t[k].sz=t[t[k].l].sz+t[t[k].r].sz+1;
    t[k].mx=max(t[k].num,max(t[t[k].l].mx,t[t[k].r].mx));
}
void split(int k,int &l,int &r,int x){
    if(!k)return void(l=r=0);
    if(x<t[t[k].l].sz+1){
        r=k;
        split(t[k].l,l,t[k].l,x);
    }
    else{
        l=k;
        split(t[k].r,t[k].r,r,x-t[t[k].l].sz-1);
    }
    up(k);
}
int merge(int a,int b){
    if(!a||!b)return a^b;
    if(t[a].rnd<t[b].rnd){
        t[a].r=merge(t[a].r,b);
        up(a);
        return a;
    }
    else{
        t[b].l=merge(a,t[b].l);
        up(b);
        return b;
    }
}
void insert(int k,int x){
    int a,b;
    split(root,a,b,x);
    t[k]=(cyc){0,0,rand(),t[a].mx+1,t[a].mx+1,1};
    root=merge(a,k);
    root=merge(root,b);
    printf("%d\n",t[root].mx);
}    
int main(){
    n=read();root=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)insert(i,read());
    return 0;
}