【BZOJ】2705: [SDOI2012]Longge的问题

【题意】给定n,求∑gcd(i,n),(1<=i<=n),n<=2^32

【算法】数论(欧拉函数,gcd)

【题解】批量求gcd的题目常常可以反过来枚举gcd的值。

记f(g)为gcd(i,n)=g的i的个数,则有ans=∑f(g)*g,g|n。

gcd(i,n)=g即gcd(i/g,n/g)=1,f(g)转化为φ(n/g)。

所以,ans=∑g*φ(n/g),g|n。

 

当然,这种纯数论问题也可以用公式法直接求解。

引用自:clover_hxy

gcd分解:d|gcd(a,b)=d|a&&d|b

过程中,[d|i]表示d是否整除i。

(图片来源:clover_hxy

解释:第一步,用公式d|nφ(d)=n转化出欧拉函数。第二步,分解gcd,d|gcd(i,n)=d|i&&d|n,选择枚举d|n并依次判断d|i是否成立。

第三步,交换顺序。第四步,对于每个d,1~n中能被d整除的数字个数为n/d,得到ans=φ(d)*n/d,d|n。这个公式和之前的一致。

 

具体实现:

1.枚举1~sqrt(n)寻找n的因数

2.枚举2~sqrt(n)寻找n的素因数,n每次除尽已枚举到的质因数,最后x>1则x是大质数。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
ll n,ans;
ll phi(ll x){
    ll num=x;
    for(ll i=2;i*i<=x;i++)if(x%i==0){
        num=num*(i-1)/i;
        while(x%i==0)x/=i;
    }
    if(x>1)num=num*(x-1)/x;
    return num;
}
int main(){
    scanf("%lld",&n);
    ans=0;
    for(ll i=1;i*i<=n;i++)if(n%i==0){
        ans+=phi(n/i)*i;
        if(i*i!=n)ans+=phi(i)*n/i;
    }
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}
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posted @ 2017-10-14 07:27  ONION_CYC  阅读(133)  评论(0编辑  收藏  举报