【BZOJ】1485: [HNOI2009]有趣的数列

【算法】Catalan数

【题解】

学了卡特兰数就会啦>_<!

因为奇偶各自递增，所以确定了奇偶各自的数字后排列唯一。

那么就是给2n个数分奇偶了，是不是有点像入栈出栈序呢。

将做偶数标为-1，做奇数标为+1，显然当偶数多于奇数时不合法，因为它压不住后面的奇数。

然后其实这种题目，打表就可知啦……QAQ

然后问题就是求1/(n+1)*C(2n,n)%p了，p不一定是素数。

参考bzoj礼物的解法。

看到网上清一色的素数筛+分解质因数解法，思考了好久，感觉写了假的礼物……

后来试了一下发现礼物的做法慢得多，原因应该是礼物解法复杂度O(min(n,P))而且常数大，分解质因数O(n)，但我觉得也带常数呀？

很奇怪……不过反正n太大只能用礼物的做法，不大的话分解质因数应该更快。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cctype>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
/*------------------------------------------------------------*/
const int inf=0x3f3f3f3f,maxn=3000010;

ll n,P,m,p[200],pc[200],M[200],a[200];
ll num,fac[maxn];
ll power(ll x,ll k,ll p)
{
    ll ans=1;
    while(k>0)
    {
        if(k&1)ans=ans*x%p;
        x=x*x%p;
        k>>=1;
    }
    return ans;
}
void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
    if(!b){x=1;y=0;return;}
    else {exgcd(b,a%b,y,x);y-=x*(a/b);}
}
ll inv(ll x,ll p)
{
    ll xx,yy;
    exgcd(x,p,xx,yy);
    return ((xx%p)+p)%p;
}
ll calc(ll x,ll p,ll pc)
{
    if(x<p)return fac[x];
    num+=x/p;
    return fac[x%pc]*power(fac[pc-1],x/pc,pc)%pc*calc(x/p,p,pc)%pc;
}
ll work(ll p,ll pc)
{
    fac[0]=1;
    for(ll i=1;i<min(pc,2*n+10);i++)fac[i]=fac[i-1]*(i%p==0?1:i)%pc;
    num=0;
    ll n1=calc(2*n,p,pc);
    ll tmp=num;
    for(ll i=1;i<min(pc,2*n+10);i++)fac[i]=fac[i-1]*(i%p==0?1:inv(i,pc))%pc;
    num=0;
    ll n2=calc(n,p,pc)*calc(n,p,pc)%pc;
    ll np=n+1;
    while(np%p==0){num++;np/=p;}
    n2=n2*inv(np,pc)%pc;
    return n1*n2*power(p,tmp-num,pc)%pc;
}
    
int main()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&P);
    m=0;ll nowP=P;
    for(ll i=2;i*i<=nowP&&nowP>1;i++)
    {
        if(nowP%i==0){p[++m]=i;pc[m]=1;}
        while(nowP%i==0){pc[m]*=i;nowP/=i;}    
    }
    if(nowP>1){p[++m]=nowP;pc[m]=nowP;}
    ll ans=0;
    for(ll i=1;i<=m;i++)
    {
        M[i]=P/pc[i];
        a[i]=work(p[i],pc[i]);
        ans=(ans+a[i]*M[i]%P*inv(M[i],pc[i])%P)%P;
    }
    printf("%lld",(ans%P+P)%P);//答案一定要记得取非负
    return 0;
}