【BZOJ】1426: 收集邮票 期望DP

【题意】有n种不同的邮票,第i次可以花i元等概率购买到一种邮票,求集齐n种邮票的期望代价。n<=10^4。

【算法】期望DP

【题解】首先设g[i]表示已拥有i张邮票集齐的期望购买次数,根据全期望公式,可以依赖于买到已集和未集邮票的情况:

$$g[i]=\frac{i}{n}*g[i]+\frac{n-i}{n}*g[i+1]+1$$

当然最后记得+1,然后移项解方程。

设f[i]表示已拥有i张邮票及其的期望代价,会发现因为是倒推,所以代价的问题变得很麻烦。

我们将代价倒置,假设购买k次,那么第一张k元……第k张1元,那么就会发现代价变成了集齐的期望购买次数。

根据全期望公式:

$$f[i]=\frac{i}{n}*(f[i]+g[i])+\frac{n-i}{n}*(f[i+1]+g[i+1])+1$$

然后移项解方程即可。

复杂度O(n)。

也可以直观地设计状态(不倒置代价),然后计算无穷:DaD3zZ

#include<cstdio>
double f[10010],g[10010],n;
int main()
{
    scanf("%lf",&n); 
    for(int i=n-1;i>=0;i--)f[i]=f[i+1]+n/(n-i);
    for(int i=n-1;i>=0;i--)g[i]=g[i+1]+f[i+1]+i*f[i]/(n-i)+n/(n-i);
    printf("%.2lf",g[0]);
    return 0;
}
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posted @ 2018-03-06 19:50  ONION_CYC  阅读(173)  评论(0编辑  收藏