P2962 [USACO09NOV]灯Lights（高斯消元加异或方程组）

很神秘的一道题，给定一些灭了的灯，如果某盏灯由亮变暗，与它直接有边相连的所有灯的状态都要改变

问最少开关多少盏灯才能把所有的灯都点亮，数据保证有解

首先考虑每盏灯的状态最多被更新一次，否则就多出了“无用操作”，不满足最小化答案的条件

假设我们现在已经得到了原图的邻接矩阵，并且用x[i]表示第i个点被点击了x[i]下

可以得到如下的一个神秘方程组：

( a[i][1] * x[1] ) ^ ... ^ ( a[i][n] * x[n] ) = 1

拆开来看：

如果a[i][j]=0，说明两点间没有路径，0对异或和不产生影响，剩下的奇数个1异或到一起才能获得1，这代表原来灭的灯被点亮了

那么一开始自己到自己应该是有一条通路i的

考虑如果没有自由元的情况，即每行恰好剩下一个1，那么答案就是所有系数之和

但是考虑存在自由元的情况，跑一次dfs枚举每个自由元的情况，非自由元直接向下递归即可

自由元的状态此时已经确定了，只需要按a[i][n+1]次就可以使他们全部为1

注意非自由元的递归，首先tmp代表的是原本它需要按几次，tmp与它所有相邻的元素异或就可以得出非自由元需要按几次

假设原本需要按1次，然后有奇数个相邻的元素被按过，偶数个1异或为0，可以得到这盏灯不需要按。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
#define sc(a) scanf("%lld",&a)
#define scc(a,b) scanf("%lld %lld",&a,&b)
#define sccc(a,b,c) scanf("%lld %lld %lld",&a,&b,&c)
#define schar(a) scanf("%c",&a)
#define pr(a) printf("%lld",a)
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<b;++i)
#define re(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
#define rfo(i,a,b) for(int i=a;i>b;--i)
#define rre(i,a,b) for(int i=a;i>=b;--i)
#define prn() printf("\n")
#define prs() printf(" ")
#define mkp make_pair
#define pii pair<int,int>
#define pub(a) push_back(a)
#define pob() pop_back()
#define puf(a) push_front(a)
#define pof() pop_front()
#define fst first
#define snd second
#define frt front()
#define bak back()
#define mem0(a) memset(a,0,sizeof(a))
#define memmx(a) memset(a,0x3f3f,sizeof(a))
#define memmn(a) memset(a,-0x3f3f,sizeof(a))
#define debug
#define db double
#define yyes cout<<"YES"<<endl;
#define nno cout<<"NO"<<endl;
using namespace std;
typedef vector<int> vei;
typedef vector<pii> vep;
typedef map<int,int> mpii;
typedef map<char,int> mpci;
typedef map<string,int> mpsi;
typedef deque<int> deqi;
typedef deque<char> deqc;
typedef priority_queue<int> mxpq;
typedef priority_queue<int,vector<int>,greater<int> > mnpq;
typedef priority_queue<pii> mxpqii;
typedef priority_queue<pii,vector<pii>,greater<pii> > mnpqii;
const int maxn=100;
const int inf=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const int MOD=100000007;
const db eps=1e-10;
int qpow(int a,int b){int tmp=a%MOD,ans=1;while(b){if(b&1){ans*=tmp,ans%=MOD;}tmp*=tmp,tmp%=MOD,b>>=1;}return ans;}
int lowbit(int x){return x&-x;}
int max(int a,int b){return a>b?a:b;}
int min(int a,int b){return a<b?a:b;}
int mmax(int a,int b,int c){return max(a,max(b,c));}
int mmin(int a,int b,int c){return min(a,min(b,c));}
void mod(int &a){a+=MOD;a%=MOD;}
bool chk(int now){}
int half(int l,int r){while(l<=r){int m=(l+r)/2;if(chk(m))r=m-1;else l=m+1;}return l;}
int ll(int p){return p<<1;}
int rr(int p){return p<<1|1;}
int mm(int l,int r){return (l+r)/2;}
int lg(int x){if(x==0) return 1;return (int)log2(x)+1;}
bool smleql(db a,db b){if(a<b||fabs(a-b)<=eps)return true;return false;}
db len(db a,db b,db c,db d){return sqrt((a-c)*(a-c)+(b-d)*(b-d));}
bool isp(int x){if(x==1)return false;if(x==2)return true;for(int i=2;i*i<=x;++i)if(x%i==0)return false;return true;}
inline int read(){
    char ch=getchar();int s=0,w=1;
    while(ch<48||ch>57){if(ch=='-')w=-1;ch=getchar();}
    while(ch>=48&&ch<=57){s=(s<<1)+(s<<3)+ch-48;ch=getchar();}
    return s*w;
}
inline void write(int x){
    if(x<0)putchar('-'),x=-x;
    if(x>9)write(x/10);
    putchar(x%10+48);
}
int gcd(int a, int b){
    if(a==0) return b;
    if(b==0) return a;
    if(!(a&1)&&!(b&1)) return gcd(a>>1,b>>1)<<1;
    else if(!(b&1)) return gcd(a,b>>1);
    else if(!(a&1)) return gcd(a>>1,b);
    else return gcd(abs(a-b),min(a,b));
}
int lcm(int x,int y){return x*y/gcd(x,y);}

int n,m,x,y;
int a[maxn][maxn];

bool gauss(int a[maxn][maxn]){
    bool no=1;
    for(int i=1;i<=n;++i){
        int mx=i;
        while(mx<=n&&!a[mx][i]) ++mx;
        if(mx>n){
            no=0;
            continue;
        }
        swap(a[i],a[mx]);
        for(int j=1;j<=n;++j){
            if(i==j||!a[j][i]) continue;
            for(int k=i+1;k<=n+1;++k)
                a[j][k]^=a[i][k];
            a[j][i]=0;
        }
    }
    return no;
}

int mn=inf;
int cnt[maxn];
void dfs(int x,int sum){
    if(sum>mn) return;
    if(x==0){
        mn=sum;
        return;
    }
    if(a[x][x]){
        bool tmp=a[x][n+1];
        re(i,x+1,n) if(a[x][i]) tmp^=cnt[i];
        dfs(x-1,sum+tmp);
    }
    else{
        cnt[x]=0,dfs(x-1,sum);
        cnt[x]=1,dfs(x-1,sum+1);
        cnt[x]=0;
    }
}

signed main(){
    ios_base::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0),cout.tie(0);
    cin>>n>>m;
    re(i,1,n) a[i][i]=a[i][n+1]=1;
    re(i,1,m){
        cin>>x>>y;
        a[x][y]=a[y][x]=1;
    }
    if(gauss(a)){
        int ans=0;
        re(i,1,n) ans+=a[i][n+1];
        cout<<ans;
    }
    else{
        dfs(n,0);
        cout<<mn;
    }
    return 0;
}