loj #6032. 「雅礼集训 2017 Day2」水箱 线段树优化DP转移
$ \color{#0066ff}{ 题目描述 }$
给出一个长度为 \(n\) 宽度为 \(1\) ,高度无限的水箱，有 \(n-1\) 个挡板将其分为 \(n\) 个 \(1 - 1\) 的小格，然后向每个小格中注水，水如果超过挡板就会溢出到挡板的另一边，这里的水是满足物理定律的（在无挡板阻拦的情况下会向低处流），现在有 \(m\) 个条件 \((i,j,k)\)，表示从左到右数的第 \(i\) 个格子中，在高度为 \(y+0.5\) 的地方是否有水， \(k=1\) 表示有水，\(k=0\) 表示没有水，请求出这 \(m\) 个条件最多能同时满足多少个条件。本题有多组数据。
\(\color{#0066ff}{输入格式}\)
第一行一个正整数 \(T\) 为数据组数。
第二行两个正整数 \(n, m\)，中间用空格隔开。
接下来一行 \(n-1\) 个整数，表示从左到右每一块隔板的高度。
接下来 \(m\) 行，每行三个整数 \(i,j,k\)，表示一个条件。
\(\color{#0066ff}{输出格式}\)
共 \(T\) 行，每行对应一组数据的答案。
\(\color{#0066ff}{输入样例}\)
2
3 4
3 4
1 3 1
2 1 0
2 2 0
3 3 1
2 2
2
1 2 0
1 2 1
\(\color{#0066ff}{输出样例}\)
3
1
\(\color{#0066ff}{数据范围与提示}\)
对于\(20\%\)的数据，\(n,m\le 16\)
对于另外\(10\%\)的数据，只存在指明某处有水的条件
对于另外\(30\%\)的数据，\(n,m\le 1000\)
对于\(100\%\)的数据，\(n,m\le 10^5, T\le 5\)
\(\color{#0066ff}{题解}\)
显然我们可以有一个\(O(n^2)\)的暴力
设\(f[i][j]\)表示从\(1\)到\(i\)，且第i格水的高度为j的最大答案
转移的话，如果当前这个没超，就是它根下一个是分开的，那么就有转移\(f[i][j]\to f[i+1][k], j,k\in[0,h[i]]\)
如果超过了，那么就是这两个连在一起了，那么就这样转移\(f[i][j]\to f[i+1][j]\)
然后发现，第一维可以省去，然后在结合转移，发现其实就是两个操作
一个是用\([0,h[i]]\)的最大值更新\([0,h[i]]\)的每一个值，（另一个转移是直接继承，不用管）
还有就是对于每个条件，比如一个条件\(x, 0\)，就是说，x的位置没有水，那么显然\(f[0...x]\)这些值都要+1，这是区间加
我们只需要维护一个资瓷区间加，区间取max，区间求max的线段树就行了
注意h要离散化一下qwq
#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
LL in() {
char ch; LL x = 0, f = 1;
while(!isdigit(ch = getchar()))(ch == '-') && (f = -f);
for(x = ch ^ 48; isdigit(ch = getchar()); x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48));
return x * f;
}
const int maxn = 5e5 + 10;
const int inf = 0x7fffffff;
struct Tree {
protected:
struct node {
node *ch[2];
int l, r, add, max, val;
node(int l = 0, int r = 0, int add = 0, int max = 0, int val = 0): l(l), r(r), add(add), max(max), val(val) { ch[0] = ch[1] = NULL; }
void trn(int x, int y) { add += x, max = std::max(max + x, y), val = std::max(val + x, y); }
void dwn() {
if(!add && !max) return;
ch[0]->trn(add, max), ch[1]->trn(add, max);
add = max = 0;
}
void upd() { val = std::max(ch[0]->val, ch[1]->val); }
int mid() { return (l + r) >> 1; }
}*root;
void build(node *&o, int l, int r) {
o = new node(l, r);
if(l == r) return;
build(o->ch[0], l, o->mid());
build(o->ch[1], o->mid() + 1, r);
}
void lazy(node *o, int l, int r, int x, int y) {
if(l <= o->l && o->r <= r) return o->trn(x, y);
o->dwn();
if(l <= o->mid()) lazy(o->ch[0], l, r, x, y);
if(r > o->mid()) lazy(o->ch[1], l, r, x, y);
o->upd();
}
int query(node *o, int l, int r) {
if(l <= o->l && o->r <= r) return o->val;
o->dwn(); int ans = 0;
if(l <= o->mid()) ans = std::max(ans, query(o->ch[0], l, r));
if(r > o->mid()) ans = std::max(ans, query(o->ch[1], l, r));
o->upd();
return ans;
}
public:
void add(int l, int r, int x, int y) { if(l <= r) lazy(root, l, r, x, y); }
void init(int n) { root = NULL, build(root, 1, n); }
int query(int l, int r) { return l <= r? query(root, l, r) : 0; }
int getans() { return root->val; }
}T;
int n, m, h[maxn], b[maxn], cnt;
std::vector<int> mp0[maxn], mp1[maxn];
int main() {
for(int S = in(); S --> 0;) {
n = in(), m = in();
h[1] = b[cnt = 1] = inf;
int x, y, z;
for(int i = 1; i <= n; i++) mp0[i].clear(), mp1[i].clear();
for(int i = 2; i <= n; i++) b[++cnt] = h[i] = in();
h[n + 1] = 0;
for(int i = 1; i <= m; i++) {
x = in(), y = in(), z = in();
if(z) mp1[x].push_back(y);
else mp0[x].push_back(y);
b[++cnt] = y, b[++cnt] = y + 1;
}
std::sort(b + 1, b + cnt + 1);
cnt = std::unique(b + 1, b + cnt + 1) - b - 1;
T.init(cnt);
for(int i = 1; i <= n; i++) h[i] = std::lower_bound(b + 1, b + cnt + 1, h[i]) - b;
for(int i = 1; i <= n; i++) {
for(int now : mp0[i]) T.add(1, std::lower_bound(b + 1, b + cnt + 1, now) - b, 1, 0);
for(int now : mp1[i]) T.add(std::lower_bound(b + 1, b + cnt + 1, now) - b + 1, cnt, 1, 0);
T.add(1, h[i + 1], 0, T.query(1, h[i + 1]));
}
printf("%d\n", T.getans());
}
return 0;
}
----olinr
