P4111 [HEOI2015]小Z的房间

\(\color{#0066ff}{ 题目描述 }\)

你突然有了一个大房子，房子里面有一些房间。事实上，你的房子可以看做是一个包含n*m个格子的格状矩形，每个格子是一个房间或者是一个柱子。在一开始的时候，相邻的格子之间都有墙隔着。

你想要打通一些相邻房间的墙，使得所有房间能够互相到达。在此过程中，你不能把房子给打穿，或者打通柱子（以及柱子旁边的墙）。同时，你不希望在房子中有小偷的时候会很难抓，所以你希望任意两个房间之间都只有一条通路。现在，你希望统计一共有多少种可行的方案。

\(\color{#0066ff}{输入格式}\)

第一行两个数分别表示n和m。

接下来n行，每行m个字符，每个字符都会是’.’或者’*’，其中’.’代表房间，’*’代表柱子。

\(\color{#0066ff}{输出格式}\)

一行一个整数，表示合法的方案数 Mod 10^9

\(\color{#0066ff}{输入样例}\)

2 2
..
..
    
2 2
*.
.*

\(\color{#0066ff}{输出样例}\)

4
    
    
0

\(\color{#0066ff}{数据范围与提示}\)

对于前20%的数据，n,m <= 3

对于前50%的数据，n,m <=5

对于前100%的数据，n,m<=9

有40%的数据保证，min(n,m)<=3

有30%的数据保证，不存在柱子

\(\color{#0066ff}{题解}\)

裸的矩阵树定理，注意模数不是质数，用辗转相除高斯消元

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
LL in() {
	char ch; LL x = 0, f = 1;
	while(!isdigit(ch = getchar()))(ch == '-') && (f = -f);
	for(x = ch ^ 48; isdigit(ch = getchar()); x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48));
	return x * f;
}
const int mod = 1e9;
const int maxn = 520;
LL mp[maxn][maxn], ans = 1;
int s[maxn][maxn], id[maxn][maxn];
int rx[] = {1, -1, 0, 0};
int ry[] = {0, 0, 1, -1};
int n, m, len;
char getch() {
	char ch = getchar();
	while(ch != '*' && ch != '.') ch = getchar();
	return ch;
}
void gauss() {
	for(int i = 1; i < len; i++) {
		for(int j = i + 1; j < len; j++) {
			while(mp[i][i]) {
				LL now = mp[j][i] / mp[i][i];
				for(int k = i; k < len; k++) mp[j][k] = (mp[j][k] - now * mp[i][k] + mod) % mod;
				if(!mp[j][i]) break;
				std::swap(mp[i], mp[j]);
				ans = -ans;
			}
		}
		ans = (ans * mp[i][i]) % mod;
	}
	ans = (ans + mod) % mod;
}
int main() {
	n = in(), m = in();
	for(int i = 1; i <= n; i++)
		for(int j = 1; j <= m; j++)
			s[i][j] = getch() == '.', id[i][j] = s[i][j]? ++len : 0;
	for(int i = 1; i <= n; i++)
		for(int j = 1; j <= m; j++) {
			if(!s[i][j]) continue;
			for(int k = 0; k < 4; k++) {
				int xx = i + rx[k];
				int yy = j + ry[k];
				if(xx >= 1 && yy >= 1 && xx <= n && yy <= m && s[xx][yy])
					mp[id[i][j]][id[xx][yy]] = mp[id[xx][yy]][id[i][j]] = 1;
			}
		}
	for(int i = 1; i <= len; i++)
		for(int j = 1; j <= len; j++)
			if(i ^ j) mp[i][i] += mp[i][j], mp[i][j] = -mp[i][j];
	gauss();
	printf("%lld", ans);
	return 0;
}