2020 ICPC 沈阳站 I - Rise of Shadows 题解
卡了我三个小时的数论签到题
\(PS\)：符号 \([\ \rm P\ ]\) 的意义是：当表达式 \(\rm P\) 为真则取值为 \(1\)，为假则取值为 \(0\)。
题目大意
给你一个一天有 \(H\) 小时、一小时有 \(M\) 分钟的表和一个正整数 \(A\)，问一天内有多少个整数时刻，使得分针与时针的夹角小于等于 \(\displaystyle\frac{2\pi A}{HM}\)。
题目分析
易知分针转速 \(w_1=\displaystyle \frac{2\pi}{M}\)，时针转速 \(w_2=\displaystyle\frac{2\pi}{HM}\)，设当前时刻为 \(T\)；
一天有 \(HM\) 个整数时刻，即 \(T\in[0,HM)\)；
于是对于每一个时刻，我们判断一下两个指针的夹角 \(\theta\) 是否小于等于 \(\displaystyle\frac{2\pi A}{HM}\) ，满足就贡献加加，最后输出总贡献即可。
方法一：数论
对于任意时刻 \(T\) 与两指针间的夹角 \(\theta\)，显然有：
注意到 \(\theta\in[0,2\pi]\)，所以还要对 \(2\pi\) 取个模（分针转一圈又转回来了），即：
同时因为两个指针之间的夹角可以选到两个数值，逆时针转有一个夹角，顺时针转有一个夹角，这里我们肯定是选更小的角来判断是否满足条件，即最终我们要求的是：
可以转化为：
把 \(\theta=\displaystyle\frac{2\pi(H-1)T}{HM}\mod{2\pi}\) 代入并化简得：
此时我们其实就可以把 \(HM\) 看作是 \(2\pi\)，\(H-1\) 看作是每过一个时刻两个指针夹角的变化量，然后分两种情况考虑：
问题等价于“一天内有多少个整数时刻，使得分针与时针的夹角小于等于 \(\pi\)”，显然每个时刻都满足（如果顺时针看夹角大于 \(\pi\)，那逆时针看一定小于，反之亦然），此时答案为 \(HM\)，特判即可；
若有 \(T(H-1)\mod{HM}\leq A\)，则一定不会有 \(T(H-1)\mod{HM}\geq HM-A\)，所以答案就是这两部分的贡献相加，同时我们令 \(G=\gcd(H-1,HM)\)。
先计算式子的左边：
当 \(G=1\) 时 ，因为 \(T\in[0,HM)\)，构成了一个模 \(HM\) 的完全剩余系，由完全剩余系的性质可得 \(T(H-1)\mod{HM}\) 也是一个完全剩余系，即它一定取遍了 \(0\sim HM-1\) 的每一个数，此时我们就不用关心到底在哪个时刻造成了贡献，只需知道范围内有多少个数满足小于等于 \(A\) 即可，显然有 \(0\sim A\) 总共 \(A+1\) 个数满足，因此这部分的贡献就是 \(A+1\)。
当 \(G\neq1\) 时，我们利用同余的一个性质： \(\displaystyle ac\equiv bc\pmod d\iff a\equiv b\pmod{\frac{d}{(c,d)}}\)，把式子转化为：
相当于我们把 \(T\in[0,HM)\) 平均分成了 \(G\) 段，每一段的 \(T\) 都构成了一个模 \(\displaystyle\frac{HM}{G}\) 的完全剩余系，此时这里的每一段其实就等价于上面 \(G=1\) 的情况，只是 \(T\) 的范围和模数变了下而已，因此每段都造成了 \(\displaystyle \lfloor\frac AG\rfloor+1\) 的贡献，左边的总贡献就是 \(G*(\displaystyle \lfloor\frac AG\rfloor+1)\)。
再看式子右边：
同样地，当 \(G=1\) 时，跟上面一样分析一波，发现其实是一样的思路（显然左边跟右边造成的贡献是对称的），只不过因为 \(T\) 不能取到 \(HM\)，所以贡献只有 \(A\)（\(HM-A\sim HM-1\) 共有 \(A\) 个数）。
当 \(G\neq1\) 时，也同上，把 \(T\) 分成 \(G\) 段，右边的总贡献就是 \(G*\displaystyle \lfloor\frac AG\rfloor\)。
因此最终答案就是左边贡献和右边贡献之和，即 \(G*(\displaystyle 2\lfloor\frac AG\rfloor+1)\)。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
long long H,M,A;
cin >> H >> M >> A;
if(H*M==A*2){
cout << H*M;
}
else {
long long G=__gcd(H-1,H*M);
cout << G*(2*(A/G)+1);
}
}
方法二：类欧几里得
待填坑~~
