Good Bye 2023

A

本质就是判断 \(\prod_{i=1}^{n} b_i\) 是否能整除 \(2023\)。

输出被移除的数，只要令 \(k-1\) 个为 \(1\)，剩下的一个随便算算即可。

B

非常难绷。

首先将 \(a\) 和 \(b\) 都除以 \(\operatorname{gcd}(a,b)\)，并记录原来的 \(\operatorname{gcd}(a,b)\) 为 \(t\)。

如果 \(a=1\)，那么答案为 \(ab^2t\)。

否则为 \(abt\)。

C

容易发现能使答案减小的方法只有让奇数和偶数反应。

但是每一次操作一定会产生偶数，所以消掉偶数效率太慢，我们应该迅速消掉奇数以绝后患。

所以第一个人的策略就是不断消奇数和奇数，第二个人就尽量消奇数和偶数对。

假设最初奇数个数为 \(t\)，那么答案为：

\[\sum_{i=1}^{n}a_i-\lfloor \frac t3 \rfloor-[t \operatorname{mod}3=1] \]

D

容易发现在一个数后不停加上 \(00\) 可以达到不改变可重集的效果。

因此我们构造 \(10\cdots 060\cdots 090\cdots0\) 或 \(90\cdots 060\cdots 010\cdots0\)。

第一部分 0 的个数要和第二部分相同，第三部分 0 的个数要是偶数。

容易发现一定可以构造出 \(n\) 个数。

当 \(n=1\) 和 \(n=3\) 的时候特判一下即可。

E

在补。