行列式学习笔记

行列式学习笔记

前置知识

高斯消元

行列式的定义

\[\det(A)=\sum_{p}(-1)^{\text{sgn}(p)} \prod A_{i,p_i} \]

其中 \(\text{sgn}(p)\) 表示 \(p\) 排列的逆序对个数。

行列式性质及其证明

• 进行一次行列转置，矩阵的行列式不变

证明：根据定义即可。

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• 行列式任意一行按比例扩大，行列式的值按同样比例扩大

证明：
假设扩大的那一行是第 \(j\) 行$$\det(A)=\sum_{p}(-1)^{\text{sgn}(p)} \prod_{i=1}^{k-1} A_{i,p_i}\times A_{j,p_j}\times k \times \prod_{i=k+1} A_{i,p_i}=k\times \det(A)$$

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• 交换行列式中的任意两行，行列式反号

证明：我们假设交换的两行为 \(x\) 和 \(y\)。那么这时候我们对于一个排列 \(p\)，他如果想要和原来所产生的贡献一样，他就只能将 \(p_x\) 和 \(p_y\) 互换。那么现在我们要证明的就是一次交换会改变排列的奇偶性，显然我们可以得到交换相邻两个元素，排列奇偶性会发生改变，那么现在我们假设 \(x<y\)，交换这两个数一定有一种方案需要 \(y-x+y-x-1\) 次相邻元素的交换，于是命题成立。

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• 行列式中若有两行成比例，则行列式值为 \(0\)

证明：根据性质二可知，比例无论多少最终答案都是一样，那我们不妨设比例为 \(1\)。假设成比例的是 \(x\) 和 \(y\) 两行，由性质三可知，交换这两行后行列式值变号，而实际上交换这两行行列式值不变，那么我们可以得到行列式值为 \(0\)。

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• 行列式中若有一行可表示为两个数列相加，则行列式为两个行列式的值之和

证明：假设那一行为 \(j\)。$$\det(A)=\sum_{p}(-1)^{\text{sgn}(p)} \prod_{i=1}^{k-1} A_{i,p_i}\times (B_{j,p_j}+C_{j,P_j}) \times \prod_{i=k+1} A_{i,p_i}=\det(B)+\det(C)$$

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行列式的快速计算

我们有上述的五条性质可以知道，将一行按任意比例变化后加到任意一行，行列式的值是不变的，那么我们可以用类似高斯消元的方法，将整个矩阵的左下部分全部变为 \(0\)，而根据行列式的定义，我们可以得到只有 \(p\) 为 \(1\sim n\) 时才对行列式的值有贡献，然后将对角线全部乘起来即可，这一部分注重实践，就不细讲了，看代码吧。

行列式计算的核心代码

int main()
{
	n=read();MOD=read();
	for (i=1;i<=n;i++)
	   for (j=1;j<=n;j++)
	       a[i][j]=read();
	for (now=1;now<n;now++){
		for (i=now+1;i<=n;i++){sym=1;
			while (a[now][now]!=0){
				G=a[i][now]/a[now][now];
				for (j=now;j<=n;j++) a[i][j]=(a[i][j]-G*a[now][j]%MOD+MOD) % MOD;
				for (j=now;j<=n;j++) swap(a[now][j],a[i][j]);
				sym=-sym;
			}for (j=now;j<=n;j++) swap(a[now][j],a[i][j]);sym=-sym;
			for (j=now;j<=n;j++) a[i][j]*=sym,a[i][j]=(a[i][j]+MOD) % MOD;
		}
	}sum=1;
	for (i=1;i<=n;i++) sum=sum*a[i][i] % MOD;
	sum=(sum+MOD) % MOD;
	printf("%lld\n",sum);
    return 0;
}

行列式的手算技巧

行列式的按行展开

定义 \(A_{i,j}\) 为 \(A\) 去掉第 \(i\) 行与第 \(j\) 列后的矩阵。

\[\det(A)=\sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j}\times \det(A_{i,j})\times a_{i,j} \]

行列式的拓展运用

LGV引理

描述

我们定义:
\(E(a,b)\) 表示从 \(a\) 到 \(b\) 所有有向路径边权总积的和。

\(A=(a_1,a_2,a_3,\cdot\cdot\cdot,a_n)\)

\(B=(b_1,b_2,b_3,\cdot\cdot\cdot,b_n)\)

\(M=\begin{bmatrix}E(a_1,b_1),E(a_1,b_2),E(a_1,b_3)&\cdots&E(a_1,b_n)\\E(a_2,b_1),E(a_2,b_2),E(a_2,b_3)&\cdots&E(a_2,b_n)\\\vdots&\ddots&\vdots\\E(a_n,b_1),E(a_n,b_2),E(a_n,b_3)&\cdots&E(a_n,b_n)\end{bmatrix}\)

则 \(F(a,b)\)

证明

矩阵树定理

描述

给定一张图 \(G\)，我们定义 \(A\) 为他的邻接矩阵，\(D\) 为他的度数矩阵（\(D(i,i)\) 为第 $i $ 个点的度数，其余值为 \(0\)），则他的基尔霍夫矩阵 \(K=D-A\)，则 \(K\) 去掉第 \(k\) 行第 \(k\) 列后得到的矩阵 \(K'\) 的行列式就是他生成树的个数。

证明

行列式的经典习题