算法系列 － Google方程式
算法系列 － Google方程式
有一个字符组成的等式：WWWDOT - GOOGLE = DOTCOM，每个字符代表一个0－9之间的数字，WWWDOT、GOOGLE和DOTCOM都是合法的数字，不能以0开头。请找出一组字符和数字的对应关系，使得替换后的数字能够满足等式。此类型的题目有很多，这个显然和Google有关系，据说这是一道Google公司的面试题。这种题目主要考察人的逻辑推导能力和短期记忆能力，通常棋下的好的人解决这类问题会更得心应手一些（飞行棋例外），因为他们通常都是走一个想好几步，对于解决这种每次面临很多种情况，每种情况又会派生出很多不同的子情况问题非常顺手。首先用人的思维习惯解决这个问题：
将横式改成竖式可能更直观一些：
首先可以得到一个信息，一个是W要足够大，因为考虑到它可能被借位的情况还要满足G和D的和，但是问题的突破口应该是两次出现的W – O，一次是：
W – O = T （1）
另一次是： （2）
W – O = O
现在分析一下可能出现的情况：
第一种情况，W – O = T不需要借位，W – O = O不需要借位，则可得出两个修正等式：
W – O = T （1.1）
W – O = O （1.2）
由等式（1.2）变形得到（1.2.1）：
W = 2O （1.2.1）
将（1.2.1）代入等式（1.1）得到等式（1.1.1）
O = T （1.1.1）
这显然与题目要求不符，因此这种情况无解。
第二种情况，W – O = T需要借位，W – O = O不需要借位，则可得出两个修正等式：
W + 10 – O = T （2.1）
W – 1 – O = O （2.2）
由等式（2.2）变形得到（2.2.1）：
W – 1 = 2O （2.2.1）
由于W是个个位数，所以O的取值只能是1－5，但是分析O取1－5的值得到的W和O组合都不能满足等式（2.1），所以这种情况也是无解的情况。
第三种情况，W – O = T不需要借位，W – O = O需要借位，则可得出两个修正等式：
W – O = T （3.1）
W + 10 – O = O （3.2）
由等式（3.2）变形得到（3.2.1）：
W = 2O - 10 （3.2.1）
将（3.2.1）代入等式（3.1）得到等式（3.1.1）
O – 10 = T （3.1.1）
O显然是不能比10大的个位数，因此这种情况也是无解的情况。
第四种情况，W – O = T需要借位，W – O = O也需要借位，则可得出两个修正等式：
W + 10 – O = T （4.1）
W – 1 + 10 – O = O （4.2）
由等式（4.2）变形得到（4.2.1）：
W = 2O - 9 （4.2.1）
将（4.2.1）代入等式（4.1）得到等式（4.1.1）
O + 1 = T （4.1.1）
W必须是整数且不能是0，也不能是1、2这样的小值，当O是9时，T会大于9，不满足题目要求，因此O的取值只能是7或8，现在假设：
（A）O = 7，则W = 5，T = 8
考察等式：
O – L = O （4.a.1），进一步假设：
（A1）此时（4.a.1）需要借位，则等式（4.a.1）演变为：
O + 10 – L = O，此时L＝10不满足题目要求，无解。
（A2）再假设T – E = M需要借位，则等式（4.a.1）演变为：
O -1 – L = O，此时L = 1，并且得到等式：
T + 10 – E = M （4.a.2）
将T=8代入，得到E + M = 18，只有E=M=9才能满足等式，但是和题目要求不符，无解。
（A3）再假设T – E = M不需要借位，则L = 0，E和M分别为3和5，或5和3。此时得到一个中间结果，如下所示：
由于此假设是建立在W – O = O需要借位的基础上的，因此第一个竖式实际上应该是W – 1 – G = D，将W=5代入得到(4.a.3)
G + D = 4 (4.a.3)
此时G和D只能是1或3，无论如何都和M与E冲突，因此无解。
因此，当O = 7时无法得到有效解，只能继续假设O = 8：
（B）O = 8，则W = 7，T = 9
考察等式：
O – L = O （4.b.1），进一步假设：
（B1）此时（4.b.1）需要借位，则等式（4.b.1）演变为：
O + 10 – L = O，此时L＝10不满足题目要求，无解。
（B2）再假设T – E = M需要借位，则等式（4.b.1）演变为：
O -1 – L = O，此时L = 1，并且得到等式：
T + 10 – E = M （4.b.2）
将T=9代入，得到E + M = 19，两个不同的个位数的和不可能大于18，因此无解。
（B3）再假设T – E = M不需要借位，则L = 0，E和M分别为3和6，或6和3。此时得到一个中间结果，如下所示：
由于此假设是建立在W – O = O需要借位的基础上的，因此第一个竖式实际上应该是W – 1 – G = D，将W=7代入得到(4.b.3)
G + D = 6 (4.b.3)
此时G，D只能是1，5或2，4，由于D – G = C没有发生借位，可知D > G。因此，D可为4或5，G为1或2，假设D = 4，G = 2，得到C = 2，与题目要求不符，因此只能是D = 5， G = 1，C = 4，所以可得到一个解：O = 8，W = 7，T = 9，D = 5，L = 0， G = 1，C = 4，E = 3/6，M = 6/3。最终的等式是：
777589 - 188103 = 589486
或
777589 - 188106 = 589483
以上是用人的思维方式的解题过程，如果方法正确，加上运气好（三次假设都是正确的，避免在错误分支上浪费时间），两分钟内就可得到结果。但是考虑到更通用的情况，字母数字没有规律，也没有可供分析的入手点和线索，比如：
AAB – BBC = CCD
这样的问题，该什么方法解决呢？只能“猜想”，用穷举的方法试探每一种猜想，对每个字母和数字穷举所有可能的组合，直到得到正确的结果。当然，这样的力气活交给计算机做是最合适不过了。
要想让计算机解决问题，就要让计算机能够理解题目，这就需要建立一个计算机能够识别、处理的数学模型，首先要解决的问题就是建立字母和数字的映射关系的数学模型。本题的数学模型很简单，就是一个字母二元组：{char, number}。考察等式：
WWWDOT - GOOGLE = DOTCOM
共出现了9个不同的字母：W、D、O、T、G、L、E、C和M，因此，最终的解应该是9个字母对应的字母二元组向量：[ {'W', 7}, {'D', 5}, {'O', 8}, {'T', 9}, {'G', 1}, {'L', 0}, {'E', 3}, {'C', 4}, {'M', 6} ]。穷举算法就是对这个字母二元组向量中每个字母二元组的number元素进行穷举，number的穷举范围就是0－9共10个数字，当然，根据题目要求，有一些字符不能为0，比如W、G和D。排列组合问题的穷举多使用多重循环，看样子这个穷举算法应该是9重循环了，在每层循环中对一个字母进行从0到9遍历。问题是，必须这样吗，对于更通用的情况，不是9个字母的问题怎么办？首先思考一下是否每次都要遍历0－9。题目要求每个字母代表一个数字，而且不重复，很显然，对每个字母进行的并不是排列，而是某种形式的组合，举个例子，就是如果W字母占用了数字7，那么其它字母就肯定不是7，所以对D字母遍历是就可以跳过7。进一步，假设某次遍历的字母二元组向量中除M字母外其它8个字母已经有对应的数字了，比如：
[ {'W', 7}, {'D', 5}, {'O', 8}, {'T', 9}, {'G', 1}, {'L', 0}, {'E', 3}, {'C', 4}, {'M', ?} ] （序列－1）
那么M的可选范围就只有2和6，显然没必要使用9重循环。
现在换一种想法，对9个二元组的向量进行遍历，可以分解为两个步骤，首先确定第一个二元组的值，然后对剩下的8个二元组进行遍历。显然这是一种递归的思想（分治），算法很简单，但是要对10个数字的使用情况进行标识，对剩下的二元组进行遍历时只使用没有占用标识的数字。因此还需要一个标识数字占用情况的数字二元组定义，这个二元组可以这样定义：{number, using}，0－9共有10个数字，因此需要维护一个长度为10的数字二元组向量。数字二元组向量的初始值是：
[{0, false}, {1, false},{2, false},{3, false},{4, false},{5, false},{6, false},{7, false},{8, false},{9, false}] （序列－2）
每进行一重递归就有一个数字的using标志被置为true，当字母二元组向量得到（序列－1）的结果时，对应的数字二元组向量的值应该是：
[{0, true}, {1, true},{2, false},{3, true},{4, true},{5, true},{6, false},{7, true},{8, true},{9, true}] （序列－3）
此时遍历这个数字二元组向量就可以知道M字母的可选值只能是2或6。
穷举遍历的结束条件是每层递归中遍历完所有using标志是false的数字，最外一层遍历完所有using标志是false的数字就结束了算法。
根据题目要求，开始位置的数字不能是0，也就是W、G和D这三个字母不能是0，这是一个“剪枝”条件，要利用起来，因此，对字母二元组进行扩充成字母三元组，添加一个leading标志：{char, number, leading}。现在算法的整体实现都讨论了，剩下的就是用代码实现这个算法了。
首先是用数据结构描述字母三元组和数字二元组：
typedef struct
{
char c;
int value;
bool leading;
}CharItem;
typedef struct
{
bool used;
int value;
}CharValue;
算法首先初始化字母三元组和数字二元组向量：
CharItem char_item[max_char_count] = {
{ 'W', -1, true }, { 'D', -1, true }, { 'O', -1, false },
{ 'T', -1, false }, { 'G', -1, true }, { 'L', -1, false },
{ 'E', -1, false }, { 'C', -1, false }, { 'M', -1, false }
};
CharValue char_val[max_number_count] = {
{false, 0}, {false, 1}, {false, 2}, {false, 3},
{false, 4}, {false, 5}, {false, 6}, {false, 7},
{false, 8}, {false, 9}
};
然后调用SearchingResult()函数开始递归遍历：
SearchingResult(char_item, char_val, 0, OnCharListReady);
整个算法的核心是SearchingResult()函数，其实这个函数非常简单：
void SearchingResult(CharItem ci[max_char_count],
CharValue cv[max_number_count],
int index, CharListReadyFuncPtr callback)
{
if(index == max_char_count)
{
callback(ci);
return;
}
for(int i = 0; i < max_number_count; ++i)
{
if(IsValueValid(ci[index], cv[i]))
{
cv[i].used = true;/*set used sign*/
ci[index].value = cv[i].value;
SearchingResult(ci, cv, index + 1, callback);
cv[i].used = false;/*clear used sign*/
}
}
}
SearchingResult()函数有四个参数，ci就是存储遍历结果的字母三元组向量，cv是存储遍历过程中数字占用情况的数字二元组向量，index是当前处理的字母三元组在字母三元组向量中的位置索引，0表示第一个字母三元组。callback是一个回调函数，当ci中所有三元组都分配了数字，就调用callback对这组解进行判断，如果满足算式就输出结果。SearchingResult()函数的代码分两部分，前一部分是结束条件判断和结果输出，后一部分是算法的关键。算法就是遍历cv中的所有数字二元组，对于每一个可用的数字（当前没有被占用，并且满足第一个数字不是0的要求），首先设置占用标志，然后将当前字母三元组的值与这个数字的值绑定，最后递归处理下一个字母三元组。
SearchingResult()函数是一个通用过程，负责字母和数字的组合，回调函数(callback)负责根据题目要求对SearchingResult()函数得到的字母和数字的组合进行筛选，只输出正确的组合。对于本题，回调函数可以这样实现：
void OnCharListReady(CharItem ci[max_char_count])
{
char *minuend = "WWWDOT";
char *subtrahend = "GOOGLE";
char *diff = "DOTCOM";
int m = MakeIntegerValue(ci, minuend);
int s = MakeIntegerValue(ci, subtrahend);
int d = MakeIntegerValue(ci, diff);
if((m - s) == d)
{
std::cout << m << " - " << s << " = " << d << std::endl;
}
}
运行算法可以得到两个结果：
777589 - 188103 = 589486
777589 - 188106 = 589483
M和E可以互换。
由于算法具有通用性，对于前文例子中的等式：
AAB – BBC = CCD
只需要构造新的字母三元组向量，并修改回调函数的过滤数据即可。新的字母三元组可按照如下方式构造：
CharItem char_item[max_char_count] = {
{'A', -1, true}, {'B', -1, true}, {'C', -1, true}, {'D', -1, false}
};
回调函数与前文的OnCharListReady()函数类似，此处不再列出。根据新的字符三元组和回调函数运行算法，可以得到13组结果：
443 - 331 = 112
553 - 332 = 221
554 - 441 = 113
665 - 551 = 114
774 - 443 = 331
775 - 552 = 223
776 - 661 = 115
885 - 553 = 332
886 - 662 = 224
887 - 771 = 116
995 - 554 = 441
997 - 772 = 225
998 - 881 = 117
对于加法、乘法和除法算式，同样只要使用不用的回调函数进行结果判断即可，不需要修改SearchingResult()函数，例如加法算式：
ABC + ABC = BCE
可以得到5组结果：
124 + 124 = 248
125 + 125 = 250
249 + 249 = 498
374 + 374 = 748
375 + 375 = 750
