算法导论 18-2 连接与分裂2-3-4树

CLRS 18-2

连接与分裂2-3-4树

      连接操作的输入为两个动态集合S'和S''，以及一个元素x，使得对任何x' ε S'，x''  ε S''，有key[x'] < key[x] < key[x'']。它返回一个集合S = S' U {x} U S''。分裂操作有点像一个“逆”操作：给定一个动态集S和一个元素x ε S，它创建一个集合S'，其中包含了S - {x}中所有关键字小于key[x]的元素；同时创建了一个集合S''，其中包含了S - {x}中所有关键字大于key[x]的元素。在这个问题中，我们来讨论如何在2-3-4树上实现这些操作。为方便起见，假定所有元素都只包含关键字，而且所有的关键字都不相同。

       a)对2-3-4树中的每个结点x，说明如何将以x为根的子树的高度作为一个域height[x]来维护。要注意所给出的实现不应影响查找、插入和删除操作的渐进运行时间。

          P270中，“对根进行分裂是增加B树高度的唯一途径”，插入结点时，只有当根分裂时，新产生的那个结点的高度为其子节点的高度加1。而对于删除结点的操作，当合并根节点的子节点时，根节点消失，其他结点的高度保持不变。(注意这里是结点，不要把结点和结点内的元素混淆了)

       b)说明如何实现联结操作。给定两个2-3-4树T'和T''以及一个关键字k，连接操作的运行时间应是O(1 + |h' - h''|)，其中h'和h''分别为T'和T''的高度。

          当h' > h''时，在树T'中高度为h''的最右结点中插入k及树T''，当然从T'的根节点到这里的路径中，进行必要的分裂操作。

          当h'' > h'时，亦然。

       c)考虑从一棵2-3-4树T的根至一个给定的关键字k的路径p，包含T中小于k的关键字集合S'，以及包含T中大于k的关键字的集合S''。证明p将S'分裂成一个树的集合{T₀', T₁', ..., T_m'}和一个关键字的集合{k₁', k₂', ..., k_m'}，此处对每个i = 1, 2, ..., m，以及任何关键字y ε T_i-1' 和z ε T_i'，都有y < k₁' < z。 T_i-1'和T_i'的高度之间有什么关系？请说明p是如何将S''分裂成树的集合和关键字的集合的。

         T_i-1'和T_i'的高度之间关系：h(T_i-1') = h(T_i') + 1

         p将S''分裂成一个树的集合{T₀'', T₁'', ..., T_m''}和一个关键字的集合{k₁'', k₂'', ..., k_m''}，此处对每个i = 1, 2, ..., m，以及任何关键字y ε T_i-1'' 和z ε T_i''，都有y > k₁' > z。

       d)请说明如何实现T上的分裂操作。利用联结操作将S'中的关键字拼成一棵2-3-4树T'，将S''中的关键字拼成一棵2-3-4树T''。分裂操作的运行时间为O(lgn)，此处n为T中的关键字个数。（提示：连接的代价应该是套迭的）

          从根节点，开始寻找元素x，所得寻找路径将原树T分为左右两半，即可得集合S'和S''，由于t=2，且路径最大长度为树的高度，故运行时间为O(lgn).