欧几里得算法

欧几里得算法

1. 算法简介

欧几里得算法是用来求解两个正整数的最大公约数（Greatest Common Divisor）的算法。

2. 算法过程

来源于百度百科。

假如需要求 1997 和 615 两个正整数的最大公约数,用欧几里得算法，是这样进行的：

1997 / 615 = 3 (余 152)

615 / 152 = 4(余7)

152 / 7 = 21(余5)

7 / 5 = 1 (余2)

5 / 2 = 2 (余1)

2 / 1 = 2 (余0)

至此，最大公约数为1

以除数和余数反复做除法运算，当余数为 0 时，取当前算式除数为最大公约数，所以就得出了 1997 和 615 的最大公约数 1。

3. 算法证明

证明：\(gcd(a, \ b) = gcd(b,\ a \ \ mod \ \ b)\) 。

假设 \(a = kb + r\)。（\(a, b, k, r\) 都是正整数，且 \(r < b\)）

那么 \(r = a \ \ mod \ \ b\)。

假设 \(d\) 是 \(a, \ b\) 的一个公约数，而 \(r = a - kb\)。

那么有 \(\frac{r}{d} = \frac{a}{d} - \frac{kb}{d} = m\)。由等式右边可知：\(m\) 是一个正整数。

因此 \(d\) 是 \(r\) 的因子，也就是说 \(d\) 是 \(b\) 和 \((a \ \ mod \ \ b)\) 的公约数。

那么我们得到结论一：对于任意一个\((a,b)\)的公约数，他一定也是\((b,a \ mod \ b)\) 的公约数。

接下来假设 \(d\) 是 \((b,a \ mod \ b)\) 的一个公约数，将 \(r = a - kb\) 两边同时除以 \(d\)，即：\(\frac{r}{d} = \frac{a}{d} - \frac{kb}{d}\).

由于 \(r = a \ mod \ b\)，即 \(d\) 是 \(r\) 的因子，那么等式右边一定是一个整数，又由于 \(d\) 是 \(b\) 的约数，那么 \(\frac{kb}{d}\) 一定是一个整数，那么 \(\frac{a}{d}\) 也一定是一个整数，即 \(d\) 是 \(a\) 的因子，也就是说 \(d\) 是 \((a,b)\) 的公约数。

那么我们得到结论二：对于任意一个\((b,a\ mod\ b)\) 的公约数，他一定也是\((a,b)\) 的公约数。

由结论一和结论二可以得出：\(gcd(a, b) = gcd(b, a \ mod \ b)\)。

4. 具体代码

int gcd(int a, int b) {
    if (b == 0) return a;
    return gcd(b, a % b);
}