P4841 [集训队作业2013]城市规划

题意

设\(f_i\)表示\(i\)个点的无向连通图个数，\(g_i\)表示\(i\)个点的无向图个数。

枚举\(1\)所在连通块的大小，有：
\(g_i=\sum\limits_{j=1}^iC_{i-1}^{j-1}f_jg_{i-j}\)
化简得：
\(g_i=\sum\limits_{j=1}^i\frac{(i-1)!}{(j-1)!(i-j)!}f_jg_{i-j}\)
\(\frac{g_i}{(i-1)!}=\sum\limits_{j=1}^i\frac{f_j}{(j-1)!}\frac{g_{i-j}}{(i-j)!}\)

设\(f'_i=\frac{f_i}{(i-1)!},g'_i=\frac{g_i}{(i-1)!},h_i=\frac{g_i}{i!}\)

那么上面的式子就是：
\(g'\equiv f'*h\pmod{x^{n+1}}\)
\(f'\equiv g'*h^{-1}\pmod{x^{n+1}}\)

多项式求逆即可。

code:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=520010;
const ll mod=1004535809;
const ll G=3;
const ll invG=334845270;
int n,lim,len;
int pos[maxn];
ll f[maxn],g[maxn],h[maxn],invh[maxn],tmp[maxn],fac[maxn],inv[maxn];
inline ll power(ll x,ll k)
{
	ll res=1;
	while(k)
	{
		if(k&1)res=res*x%mod;
		x=x*x%mod;k>>=1;
	}
	return res;
}
inline void NTT(ll* a,int op)
{
    for(int i=0;i<lim;i++)if(i<pos[i])swap(a[i],a[pos[i]]);
    for(int l=1;l<lim;l<<=1)
    {
        ll wn=power(op==1?G:invG,(mod-1)/(l<<1));
        for(int i=0;i<lim;i+=l<<1)
        {
           	ll w=1;
            for(int j=0;j<l;j++,w=w*wn%mod)
            {
                int x=a[i+j],y=w*a[i+l+j]%mod;
                a[i+j]=(x+y)%mod;a[i+l+j]=(x-y+mod)%mod;
            }
        }
    }
    if(op==1)return;
    ll inv=power(lim,mod-2);
    for(int i=0;i<lim;i++)a[i]=a[i]*inv%mod;
}
void getinv(ll* a,ll* b,int n)
{
    if(n==1){b[0]=power(a[0],mod-2);return;}
    getinv(a,b,(n+1)>>1);
    lim=1,len=0;
    while(lim<(n<<1))lim<<=1,len++;
    for(int i=0;i<lim;i++)pos[i]=(pos[i>>1]>>1)|((i&1)<<(len-1));
    for(int i=0;i<n;i++)tmp[i]=a[i];
    for(int i=n;i<lim;i++)tmp[i]=0;
    NTT(tmp,1);NTT(b,1);
    for(int i=0;i<lim;i++)b[i]=((2ll-b[i]*tmp[i]%mod)%mod+mod)%mod*b[i]%mod;
    NTT(b,-1);
    for(int i=n;i<lim;i++)b[i]=0;
}int main()
{
	scanf("%d",&n);
	fac[0]=1;for(int i=1;i<=n;i++)fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
	inv[n]=power(fac[n],mod-2);for(int i=n;i;i--)inv[i-1]=inv[i]*i%mod;
	for(int i=0;i<=n;i++)h[i]=power(2,1ll*i*(i-1)/2)*inv[i]%mod;
	for(int i=0;i<=n;i++)g[i]=i*h[i]%mod;
	getinv(h,invh,n+1);
	lim=1,len=0;
	while(lim<=(n<<1))lim<<=1,len++;
    for(int i=0;i<lim;i++)pos[i]=(pos[i>>1]>>1)|((i&1)<<(len-1));
	NTT(g,1);NTT(invh,1);
	for(int i=0;i<lim;i++)f[i]=g[i]*invh[i]%mod;
	NTT(f,-1);
	printf("%lld",f[n]*fac[n-1]%mod);
	return 0;
}