组合数取模 【数论】

 

 

本人水平有限，题解不到为处，请多多谅解

 

本蒟蒻谢谢大家观看

 

 

题目：

3942: 组合数取模

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Description

给出N,M,P，求C(N,M) Mod P
1<=M<=N<=10^6,1<=P<=10^5,P可能为合数

Input

一行给出N,M,P

Output

如题

Sample Input

5 2 3

Sample Output

1

HINT

 

如果直接用公式暴力的话，显然会爆出long long类型，直接RE。

 

所以要优化，我们可以利用组合数公式来进一步推倒。

 

我们可以将n!写成几个质数幂的积的形式。再利用逆元不断取模即可。

我们可以先把能约的先约掉，直接指数相减即可。

 

例如：5！=1*2*3*4*5   可以写成：(2^3)*(3^1)*(5^1) 又可以写成：(2^3)%p*(3^1)%p*(5^1)%p 即可

 

我们可以先用欧拉线筛求出质数，再把质数进行求其指数，最后用快速幂还原成常数即可。

 

在上代码之前先来解释一下我的变量：

 

Isprime表示质数的顺序。例如：2为所有质数的第一个，所以Isprime[2]==1，

3为所有质数的第二个，所以Isprime[3]==2  ……

 

primenum表示在n以内有多少个质数。例如：当n==10时，primenum[10]==4 因为10以内有4个质数。

 

sum表示当前质数的指数为多少。例如：2^3 为sum[2]==3

 

 

 

code:

#include<bits/stdc++.h>
#pragma GCC optimize(3)
#define int long long
const int N=1e6+10;
using namespace std;
int n,m,p;
int Isprime[N],primenum[N],sum[N];
bool vis[N];
int ans=1;
int tot=0;
void inint(){
    freopen("com.in","r",stdin);
    freopen("com.out","w",stdout);
}
inline int read(){
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)){x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}
    return x*f;
}
inline void write(int x)
{
    if(x<0)x=-x,putchar('-');
    if(x>9)write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
int quick_mi(int a,int b){
    if(b==0)return 1;
    if(b%2==1)return quick_mi(a*a,b/2)*a;
    else return quick_mi(a*a,b/2);
}
void PRIME(int x){
    for(int i=2;i<=x;i++){
        primenum[i]=primenum[i-1];
        if(!vis[i]){
            Isprime[++tot]=i;
            primenum[i]++;
        }
        for(int j=1;j<=tot&&i*Isprime[j]<=x;j++){
            vis[i*Isprime[j]]=true;
            if(i%Isprime[j]==0)break;
        }
    }
    return ;
}
void solve(int x,int y,int z,int mod){
    for(int i=1;i<=primenum[x];i++){
        int yzl=x;
        while(yzl!=0){
            sum[i]+=yzl/Isprime[i];
            yzl=yzl/Isprime[i];
        }
    }
    for(int i=1;i<=primenum[y];i++){
        int yzl=y;
        while(yzl!=0){
            sum[i]-=yzl/Isprime[i];
            yzl=yzl/Isprime[i];
        }
    }
    for(int i=1;i<=primenum[z];i++){
        int yzl=z;
        while(yzl!=0){
            sum[i]-=yzl/Isprime[i];
            yzl=yzl/Isprime[i];
        }
    }
    for(int i=1;i<=primenum[x];i++){
        ans=ans*(quick_mi(Isprime[i],sum[i])%mod);
        ans%=mod;
    }
    return ;
}
signed main()
{
    //inint();
    n=read(),m=read(),p=read();
    PRIME(n);
    solve(n,m,n-m,p);
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}