如何找到正态分布的拐点

由 

考特尼·泰勒

4月28，2019上更新

数学的一大优点是，该学科看似无关的领域以令人惊讶的方式结合在一起。这方面的一个例子是将微积分的思想应用于钟形曲线。微积分中称为导数的工具用于回答以下问题。正态分布的概率密度函数图上的拐点在哪里？

 

拐点

曲线具有多种可分类和分类的特征。我们可以考虑的与曲线相关的一个项目是函数的图形是增加还是减少。另一个特征与所谓的凹度有关。这可以粗略地被认为是曲线的一部分面向的方向。更正式的凹面是曲率方向。

 

如果曲线的一部分形状像字母U，则称为凹陷。如果曲线的一部分形状如下图所示，则曲线的一部分向下凹∩。如果我们考虑一个向上凹陷或向下凹陷的洞穴，很容易记住这是什么样子的。拐点是曲线改变凹度的地方。换句话说，它是曲线从凹向上到向下凹的点，反之亦然。

 

二阶导数

在微积分中，导数是一种以多种方式使用的工具。虽然导数最著名的用途是确定在给定点处与曲线相切的直线的斜率，但还有其他应用。这些应用之一与查找函数图的拐点有关。

 

如果 y = f（ x） 的图在 x = a 处有一个拐点，则 f 的二阶导数在 a 处求值为零。我们用数学符号写成f''（a） = 0。如果函数的二阶导数在某个点为零，这并不自动意味着我们已经找到了拐点。但是，我们可以通过查看二阶导数为零的位置来寻找潜在的拐点。我们将使用此方法来确定正态分布拐点的位置。

 

钟形曲线的拐点

平均μ和标准差为 σ 的正态分布的随机变量的概率密度函数为

 

f（ x ） =1/ （σ √（2 π） ）exp[-（x - μ）2/(2σ2)].

 

这里我们使用符号 exp[y] =ey，其中 e 是近似于 2.71828 的数学常数。

 

这个概率密度函数的一阶导数是通过知道ex并应用链式规则。

 

f' （x ） = -（x - μ）/ （σ3√（2 π） ）经验[-（x -μ）2/(2σ2）] = -（x - μ） f（ x ）/σ2.

 

我们现在计算这个概率密度函数的二阶导数。我们使用产品规则来查看：

 

f''（ x ） = - f（ x ）/σ2- （x - μ） f'（ x ）/σ2

 

简化我们所拥有的这个表达式

 

f''（ x ） = - f（ x ）/σ2+ （x - μ）2f（ x ）/（σ4)

 

现在将此表达式设置为零并求解 x。因为f（x）是一个非零函数，我们可以用这个函数除以方程的两边。

 

0 = - 1/σ2+ （x - μ）2/σ4

 

为了消除分数，我们可以将两边乘以σ4

 

0 = - σ2+ （x - μ）2

 

我们现在快要达到我们的目标了。为了求解 x，我们看到

 

σ2= （x - μ）2

 

通过取两边的平方根（并记住取根的正值和负值

 

±σ = x - μ

 

由此很容易看出拐点发生在 x = μ ± σ 的地方。换句话说，拐点位于平均值上方一个标准差和平均值下方一个标准差的位置。

 

查找正态分布的拐点 (thoughtco.com)