基本算法——二分答案经典模型例题
序言
对于单调性或二段性的对象一般会考虑二分答案。
把该问题转化为给定一个值mid，判定是否可行，进而缩小范围。
模型
此类问题对于答案从属于右边的，则选用“r=mid”的模板；对于答案从属于左边的，则选用“l=mid”的模板。
这类问题其实可以根据绝对值的性质，将其划分成两个子问题。
大于等于该值的答案中最小的&小于等于该值的答案中最大的
那么便转化成上一类问题了。
根据单调性二分即可。
典题详析
题面分析：
题目要求“剩余的电缆中，最贵的那条的最少花费”，这就是一个典型的“最大值最小”的模型。
算法思路：
二分路径上第k+1长的边的权值，使其最小化。
对于路径上边权大于该值的边，是必须用一次免费机会的。那么把其值记为1；
否则是不需用掉免费机会的，则把其值记为0；
然后跑一遍01最短路即可。
代码如下：
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <queue>
using namespace std;
const int N = 1e3+10,M = 2e4+10;
struct Edge{
int to,next,w;
}edge[M]; int idx;
int h[N];
int vis[N],dis[N];
int n,m,k;
void add(int u,int v,int w)
{
edge[++idx].w=w;
edge[idx].to=v;
edge[idx].next=h[u];
h[u]=idx;
}
bool check(int mid) //SLF优化的SPFA最短路
{
deque<int> q;
memset(dis,0x3f,sizeof dis);
memset(vis,0,sizeof vis);
dis[1]=0;
vis[1]=1;
q.push_back(1);
while(!q.empty())
{
int now=q.front();
q.pop_front();
vis[now]=0;
for(int i=h[now];~i;i=edge[i].next)
{
int to=edge[i].to,w;
if(edge[i].w<=mid)w=0;else w=1;
if(dis[to]>dis[now]+w)
{
dis[to]=dis[now]+w;
if(!vis[to])
{
if(!q.empty()&&dis[to]<dis[q.front()])
q.push_front(to);
else q.push_back(to);
vis[to]=1;
}
}
}
}
if(dis[n]<=k)return true;
else return false;
}
int main()
{
memset(h,-1,sizeof h);
scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
int maxx=-2e9;
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int u,v,w;
scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
add(u,v,w);
add(v,u,w);
maxx=max(maxx,w);
}
int l=0,r=maxx;
while(l<r)
{
int mid=l+r>>1;
if(check(mid))r=mid;
else l=mid+1;
}
if(!check(l))puts("-1");
else printf("%d\n",l);
return 0;
}
2. NOIP提高组2011 聪明的质监员 洛谷P1314 / Acwing 499
题面分析：
仔细思考，不难发现如下性质：
W越大，则重量大于等于W的矿石就会越少，那么Y就越小；
W越小，则重量大于等于W的矿石就会越多，那么Y就越大。
也就是说，Y与W呈负相关，Y随W单调变化。
算法思路：
我们二分W的值，然后进行判定。
找出满足条件“使得Y小于等于S”的W中的最小值，即满足条件的Y的最大值。
那么最后再算一遍W-1的Y值，即是Y大于等于S的Y的最小值。
对于满足条件的矿石个数与价值的区间求和，我们很容易想到用前缀和来处理。
代码如下：
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
using namespace std;
const int N =2e5+10,M=2e5+10;;
long long s;
int n,m;
int sum_n[N],sum_v[N];
int w[N],v[N],l[M],r[M];
long long valid(int mid)
{
memset(sum_n,0,sizeof sum_n);
memset(sum_v,0,sizeof sum_v);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
if(w[i]>=mid)
{
sum_n[i]=sum_n[i-1]+1;
sum_v[i]=sum_v[i-1]+v[i];
}
else
{
sum_n[i]=sum_n[i-1];
sum_v[i]=sum_v[i-1];
}
}
long long ans=0;
for(int i=1;i<=m;i++)
{
ans+=(long long)(sum_n[r[i]]-sum_n[l[i]-1])*(sum_v[r[i]]-sum_v[l[i]-1]);
}
return ans;
}
int main()
{
scanf("%d%d%lld",&n,&m,&s);
int L=2e9,R=-2e9;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d%d",&w[i],&v[i]);
L=min(L,w[i]);
R=max(R,w[i]);
}
for(int i=1;i<=m;i++)scanf("%d%d",&l[i],&r[i]);
long long ans=2e18;
while(L<R)
{
int mid=L+R>>1;
long long res=valid(mid);
if(res<=s)R=mid;
else L=mid+1;
}
ans=min(abs(valid(L)-s),abs(valid(L-1)-s));
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}
3. NOIP提高组2012 借教室 洛谷P1083 / Acwing 503
题面分析：
当前一份的订单已经无法满足的时候，那么后续的订单也必然无法满足。
于是我们发现了能否满足的订单数的单调性。
算法思路：
二分订单数，即题目要求的第一份无法满足的订单编号。
那么对于每次的二分值，进行判定：
到当前这份订单为止，对于每一天要租借的教室的数量进行累加，看原有的教室数量是否足够。
每次判定都需要对区间进行加减操作，那么我们自然想到用差分进行处理。
代码如下：
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1e6+10;
int n,m;
int s[N],t[N],d[N],f[N],c[N];
bool check(int mid)
{
memcpy(c,f,sizeof c);
for(int i=1;i<=mid;i++)
{
c[s[i]]-=d[i];
c[t[i]+1]+=d[i];
}
int sum=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
sum+=c[i];
if(sum<0)return true;
}
return false;
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
int la=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
int a;scanf("%d",&a);
f[i]=a-la;la=a;
}
for(int i=1;i<=m;i++)scanf("%d%d%d",&d[i],&s[i],&t[i]);
int l=1,r=n+1;
while(l<r)
{
int mid=l+r>>1;
if(check(mid))r=mid;
else l=mid+1;
}
if(l==n+1)puts("0");
else printf("-1\n%d\n",l);
}
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