BZOJ 1010 dp 斜率优化

题意： 给一段数列，要求分成若干段，有一个公式可算每段的花费，求整段数列最小花费。

题意很裸,但是转移方程容易写错，题中给出一个计算公式，表示从i到j打一个包所消耗费用，我刚开始时的想法如下：

dp[i]=min{dp[j]+(sum[i]-sum[j-1]+i-j-l)^2}(j<i); 看起来好像很有道理，但是是错的，因为此时dp[i]表示从i到i-1打过包了，

然而到了dp[n],问题来了，第n个点并没有更新，要想是上述思路正确，不能直接套公式，我下面写出更简单的思路：

dp[i]表示当前点以前有若干个包，就可以方便的写出方程：dp[i]=min{dp[j]+(sum[i]-sum[j]+i-j-1-l)^2};

这就对啦！

但是数据范围很大，o(n^2)过不了，于是就用斜率优化变成n的，就过了。

下面详细讲一下斜率优化：

　　斜率优化就是维护一个凸壳，使其严格上凸或下凸，具体情况具体分析；

　　设k,j,且j<k<i,i由k更新而来，则化简后的式子：

　　dp[k]+(sum[k]+k+1+l)^2-dp[j]-(sum[j]+j+1+l)^2/(2*(sum[k]+k-sum[j]-j))<=sum[i]+i;

　　观察，这个式子左边是一个与k,j有关的斜率表达式，而右边只含有i，显然右边单增，而题中要找min，要想保持现在的k更优，

　　则斜率k<斜率原，所以要维护下凸性，就可用一个单调队列来维护，降到n的复杂度了。

下面是代码：

/**************************************************************
    Problem: 1010
    User: 201484348
    Language: C++
    Result: Accepted
    Time:120 ms
    Memory:5492 kb
****************************************************************/
 
#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
struct data{
    ll x,y;
}cmp,D[50010];
int L,R,N,W;
ll C[500010];
inline ll jud(data a,data b,data c)
{
    return (b.x-a.x)*(c.y-a.y)-(b.y-a.y)*(c.x-a.x);
}  
int main()
{
    scanf("%d%d",&N,&W);
    for (int i=1;i<=N;i++)
    {
        scanf("%lld",&C[i]);
        C[i]+=C[i-1];
    }
    for (int i=1;i<=N;i++)
    {
        while (L<R&&D[L].y-2*(i+C[i]-W-1)*D[L].x>=D[L+1].y-2*(i+C[i]-W-1)*D[L+1].x) L++;
        cmp.x=i+C[i];cmp.y=D[L].y-2*(i+C[i]-W-1)*D[L].x+(i+C[i]-W-1)*(i+C[i]-W-1)+(i+C[i])*(i+C[i]);
        while (L<R&&jud(D[R-1],D[R],cmp)<=0) R--;
        D[++R]=cmp;
    }
    printf("%lld\n",D[R].y-(N+C[N])*(N+C[N]));
    return 0;
}