KMP算法详解

一直以来对KMP算法理解的不是很透彻。看了左神的程序员代码面试指南后感觉基本明白了。

我们都知道KMP算法最重要的是next数组，next[i]的含义是在match[i]之前的字符串match[0..i-1]中，必须以match[i-1]结尾的后缀子串（不能包含match[0]）与必须以match[0]开头的前缀子串（不能包含match[i-1]）最大匹配长度是多少。比如match="aaaab"，我们来求一下next[4]，match[4]=='b'，它之前的字符串为"aaaa",根据定义它的后缀子串和前缀子串的最大匹配为"aaa"，所以next[4]=3.

假设从str[i]出发，匹配到j位置时发现与match中的字符不一致，此时，我们利用next数组，next[j-i]表示match[0..j-i-1]这一段字符串前缀与后缀的最长匹配。假设前缀是a区域这一段，后缀是b区域这一段，再假设a区域的下一个字符是match[k],如图所示。

那么下次匹配时直接让str[j]与match[k]进行匹配。相当于match向右滑动。如果match滑到最后也没匹配出来，就说明str中没有match，为什么这样做是正确的呢？

如图，匹配到A字符和B字符才发生的不匹配，所以c区域等于b区域，有next数组可知b区域与a区域相等，所以直接把字符C滑到A的位置开始匹配即可，那么为什么中间这一段是不用检查的呢？

假设d区域开始的字符是不用检查区域的一个位置，如果从这个位置开始能够匹配出match，那么显然d区域和e区域相等，假设d区域对应到match中是d'区域，也就是字符B之前字符串的后缀，而e是match的前缀，随意对match来说，相当于找到了B字符之前字符串的一个比a，b区域更的大前缀与后缀匹配长度，这与next数组的值是自相矛盾的，因为next数组保存的就是最大前缀与后缀匹配长度，所以如果next数组的值计算正确，这种情况绝对不会发生。

匹配过程代码

int getIndexOf(string& s,string& m){
    if(s.length()<m.length())
        return -1;
    if(s.empty()||m.empty())
        return 0;
    int si=0,mi=0;
    vector<int> next=getNext(m);
    while(si<s.length()&&mi<m.length()){
        if(s[si]==m[mi]){
            si++;
            mi++;
        }else if(next[mi]==-1){
            si++;
        }else{
            mi=next[mi];
        }
    }
    return mi==m.length() ?  si - mi : -1;
}

next数组的求解

对match[0]来说，在它之前没有字符，说以next[0]规定为-1。对match[1]来说，它只用长度为0的前后缀，所以next[1]为0。之后对于match[i]（i>1）来说：

1.因为是从左到右求解next数组，所以在求next[i]的值时，前面的next值均已知。假设match[i]字符为A，match[i-1]为B，通过next[i-1]可以知道B字符前的最大前缀后缀匹配长度，分别为/和k区域。然后看字符C与B是否相等。

2.如果C与B相等，那么next[i]=next[i-1]+1

3.如果C与B不相等，就看字符C之前的前缀后缀匹配情况，假设C是第cn个字符，那么next[cn]就是其最长前缀后缀匹配长度。

如图，m和n区域为字符C之前字符串的最长匹配的前缀后缀区域，m'区域为k区域最右且长度与m区域相同，因为k区域和/区域是相等的，所以m和m'区域也相等，字符D为n区域后的一个字符，接下来比较字符D与B是否相等。

1）如果相等，那么next[i]=next[cn]+1。

2）如果不等，继续往前跳到字符D，之后的过程与跳到字符C类似，一直进行这样跳的过程，只要有相等的情况，next[i]的值就能确定。

4.如果跳到match[0]的位置，说明字符A之前的字符串不存在前缀后缀匹配的情况，则令next[i]=0。

求解next数组代码

vector<int> getNext(string& ms){
    vector<int> next(ms.length());
    if(ms.length()==1){
        next[0]=-1;
        return next;
    }
    next[0]=-1;
    next[1]=0;
    int pos=2;
    int cn=0;
    while(pos<next.size()){
        if(ms[pos-1]==ms[cn])
            next[pos++]=++cn;
        else if(cn>0)
            cn=next[cn];
        else
            next[pos++]=0;
    }
    for(int i=0;i<next.size();i++)
        cout<<next[i];
    cout<<endl;
    return next;
}