攻克高等数学极限
一、求函数极限的常用方法
1.1 利用有理运算法
- 存在 +- 不存在 = 不存在
- 存在 *÷ 不存在 = 不一定
- 不存在 +-*÷ 不存在 = 不一定
1.2 利用基本极限求极限
\[\begin{aligned}
& \lim_{n\to\infin}\sqrt[n]n=1 \\
& \lim_{n\to\infin}\sqrt[n]a=1 \\
\end{aligned}
\]
1.3 利用等价无穷小替换
\[\begin{aligned}
& \alpha{x}-1\backsim{xln\alpha} \\
& x-\ln{(1+x)} \backsim\frac{x^2}{2} \\
& \arctan{x}<\sin{x}<x<\arcsin{x}<\tan{x} \qquad\text{方便记忆下面几个无穷小替换} \\
& x-\arctan{x} = \frac{x^3}{3} \\
& x-\sin{x} = \frac{x^3}{6} \\
& \arcsin{x}-x = \frac{x^3}{6} \\
& \tan{x}-x = \frac{x^3}{3}
\end{aligned}
\]
-
当 \(\frac{f(x)}{g(x)}=1\)，\(\int_0^x f(t)dt \backsim \int_0^x g(t)dt\)
-
等价无穷小代换原则：
- 乘除关系可以随便换
- 加减关系一定条件下可以换（原则就是代换后的结果加减不能为0）
若 \(\alpha\backsim\alpha_1\,,\beta\backsim\beta_1\)，且 \(\lim \frac{\alpha_1}{\beta_1}=A\neq{1}\)，则 \(\alpha-\beta\backsim\alpha_1-\beta_1\)
若 \(\alpha\backsim\alpha_1\,,\beta\backsim\beta_1\)，且 \(\lim \frac{\alpha_1}{\beta_1}=A\neq{-1}\)，则 \(\alpha+\beta\backsim\alpha_1+\beta_1\)
1.4 利用洛必达
- 略
1.5 利用泰勒公式
\[\begin{aligned}
& e^x = 1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+o(x^n) \\
& \sin{x} = x-\frac{x^3}{3!}+\cdots+(-1)^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!} \\
& \cos{x} = 1-\frac{x^2}{2!}+\cdots+(-1)^n\frac{x^n}{2n!}+o(n^2n) \\
& \ln{(x+1)} = x-\frac{x^2}{2}+\cdots+(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+o(x^n) \\
& \frac{1}{1-x} = 1+x+x^2+\cdots+x^n+\cdots \\
& \frac{1}{1+x} = 1-x+x^2-x^3+\cdots+(-1)^nx^n \\
\end{aligned}
\]
1.6 利用夹逼准则
- 略
1.7 利用定积分定义
- 略
1.8 利用单调有界准则
- 略
1.9 利用拉格朗日中指定理
- 略
二、求函数极限的常见题型
2.1 \(\frac{0}{0}\) （重点）
-
核心思想：消去分母中的 0 因子
-
常用操作
- 洛必达
- 等价无穷小代换
- 泰勒公式
2.2 \(\frac{\infin}{\infin}\)
-
常用方法：
- 洛必达
- 分子分母同时除以各项中最高阶的无穷大
2.3 \(0*\infin\)
-
常用方法：
- 化为 \(\frac{0}{0} 或 \frac{\infin}{\infin}\)
- 可以把 0 进行无穷小替换
2.4 \(\infin-\infin\)
-
常用方法：
- （分式差）通分化变成 \(\frac{0}{0} 或 \frac{\infin}{\infin}\)
- （根式差）根式有理化变成 \(\frac{0}{0} 或 \frac{\infin}{\infin}\)
- 提取无穷因子，变成 \((1+x)^\alpha-1\) 的形式
2.5 \(1^\infin\) （重点）
-
最好的方法：
- 写成标准形式：\(原式=\lim{[1+\alpha(x)]^{\beta{(x)}}}\)
- 求极限：\(\lim{\alpha(x)\beta(x)}=A\)
- 写结果：\(原式=e^A\)
2.6 \(\infin^{0}和0^0\)
-
常用方法：
- \(\lim{[f(x)]^{g(x)}}=\lim{{e}^{g(x)\ln{f(x)}}}\)
三、数列极限
3.1 不定式的数列极限
- 注意数列极限中的 n 需要改成 x 才能使用洛必达或其他方法，因为 n 是离散点，x 是连续点
3.2 n 项和
- 夹逼定理
- 定积分定义
- 注：当变化部分相对于主要部分为次量级，用夹逼；当变化部分相对于主要部分为同量级，用定积分定义
3.3 n 项连乘
- 夹逼定理
- 取对数化为 n 项和
3.4 递推关系
3.4.1 方法一
-
先证 \(\{x_n\}\)收敛（单调有界准则）
-
利用等式 \(x_{n+1}=f(x_n)\) 两边取极限求出 A
-
证明 \(\{x_n\}\) 单调方法：
- \(x_{n+1}-x_n\)
- \(\{x_n\}\) 不变号，且 \(\frac{x_{n+1}}{x_n}\geq{1}(\leq{1})\)
- 通过 \(f(x_n)\) 单调性判断：
\(f(x_n)\) 单调增，\(x_1\leq{x_2}\)，\(\{x_n\}\) 单调增
\(f(x_n)\) 单调增，\(x_1\geq{x_2}\)，\(\{x_n\}\) 单调减
\(f(x_n)\) 单调减，\(\{x_n\}\) 不单调，只能用方法二
3.4.2 方法二
- 先利用递推等式求出 A，然后假设 \(\lim_{n\to\infin} x_n = A\)
- 然后利用递推关系证明 \(|x_n-A| < B|x_{n-1}-A|\)，其中只要 \(B\in(0,1)\)
- 最后利用递推式证明 \(0<|x_n-A|<B^{n-1}|x_1-A|<0\)，得证
四、求极限的化简技巧（积累）
- 看到 \(\frac{1}{x}\)，可以考虑倒代换
- 无穷大 + 无穷大，低阶无穷大可以忽略；无穷小 + 无穷小，高阶无穷小可以忽略
- \(x\to-\infin\) 时，除以 \(-x\) 可以避免因子出现正负问题
- 遇到非 0 因子一定要先求出，然后提出来
- \({\frac{x}{x-a}}^x \implies {\frac{x-a}{x}}^{-x}\)
-
\[\]
\[\]
