哈弗曼树与哈夫曼编码

一、什么是哈夫曼树（Huffman Tree）
- 1.1 哈夫曼树的定义
二、哈夫曼树的构造
- 2.1 哈夫曼树的特点
三、哈夫曼编码
- 3.1 使用二叉树编码
- 3.2 使用哈夫曼树编码

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一、什么是哈夫曼树（Huffman Tree）

如果我们将百分制的考试成绩转换成五分制的成绩，我们可以使用如下所示的程序：

/* c语言实现 */

if( score < 60 )  grade =1;
else if( score < 70 ) grade =2; 
else if( score < 80 ) grade =3; 
else if( score < 90 ) grade =4;
else grade =5;

通过上述的代码，我们可以构造出如下图所示的判定树：

如果在上述五分制的成绩中，我们考虑学生成绩的分布的概率，如下图所示：

通过学生成绩分布的概率和上述的判定树，我们可以得到学生成绩的查找效率为：

\[0.05× 1+0.15 ×2+0.4× 3+0.3 ×4+0.1× 4 = 3.15 \]

从学生成绩分布的概率中，可以看出70-79和80-89分布中的学生较多，然而他们的查找效率确是较低的，因此我们可以按照如下方式修改代码和判定树：

/* c语言实现 */

if( score < 80 )   
{      
  if( score < 70 );
   if( score < 60 ) {
     grade =1; 
   } else grade = 2; 
  else grad=3; 
}
else if( score < 90 ) grade =4; 
else grade =5;

通过此次修改，学生成绩的查找效率为：

\[0.05× 3+0.15 ×3+0.4× 2+0.3 ×2+0.1× 2 = 2.2 \]

通过上述的例子，我们可以思考一个问题：如何根据结点不同的查找频率构造更有效的搜索树？

1.1 哈夫曼树的定义

带权路径长度（WPL）：设二叉树有n个叶子结点，每个叶子结点带有权值\(w_k\)，从根节点到每个叶子结点的长度为\(l_k\)，则每个叶子结点的带权路径长度之和就是：\(WPL = \sum_{k=1}^nw_kl_k\)

最优二叉树或哈夫曼树：WPL最小的二叉树

例：有五个叶子结点，它们的权值为 {1, 2, 3, 4, 5} ，用此权值序列可以构造出形状不同的多个二叉树。

二、哈夫曼树的构造

每次把权值最小的两颗二叉树合并

/* c语言实现 */

typedef struct TreeNode *HuffmanTree;
struct TreeNode{
  int Weight;
  HuffmanTree Left, Right;
}

HuffmanTree Huffman( MinHeap H )
{
  // 假设H->Size个权值已经存在H->Elements[]->Weight里
  int i; HuffmanTree T;
  BuildMinHeap(H); // 将H->Elements[]按权值调整为最小堆
  for (i = 1; i < H->Size; i++)
  {
    // 做H->Size-1次合并
    T = malloc(sizeof(struct TreeNode)); // 建立新结点
    T->Left = DeleteMin(H); // 从最小堆中删除一个结点，作为新T的左子结点
    T->Right = DeleteMin(H); // 从最小堆中删除一个结点，作为新T的右子结点
    T->Weight = T->Left->Weight+T->Right->Weight; // 计算新权值
    Insert(H, T); // 将新T插入最小堆
  }
  T = DeleteMin(H);
  return T;
}

# python语言实现

# 节点类
class Node(object):
    def __init__(self, name=None, value=None):
        self._name = name
        self._value = value
        self._left = None
        self._right = None


# 哈夫曼树类
class HuffmanTree(object):

    # 根据Huffman树的思想：以叶子节点为基础，反向建立Huffman树
    def __init__(self, char_weights):
        self.a = [Node(part[0], part[1]) for part in char_weights]  # 根据输入的字符及其频数生成叶子节点
        while len(self.a) != 1:
            self.a.sort(key=lambda node: node._value, reverse=True)
            c = Node(value=(self.a[-1]._value + self.a[-2]._value))
            c._left = self.a.pop(-1)
            c._right = self.a.pop(-1)
            self.a.append(c)
        self.root = self.a[0]
        self.b = list(range(10))  # self.b用于保存每个叶子节点的Haffuman编码,range的值只需要不小于树的深度就行

    # 用递归的思想生成编码
    def pre(self, tree, length):
        node = tree
        if (not node):
            return
        elif node._name:
            print(node._name + '的编码为:')
            for i in range(length):
                print(self.b[i])
            print()
            return
        self.b[length] = 0
        self.pre(node._left, length + 1)
        self.b[length] = 1
        self.pre(node._right, length + 1)

    # 生成哈夫曼编码   
    def get_code(self):
        self.pre(self.root, 0)


if __name__ == '__main__':
    # 输入的是字符及其频数
    char_weights = [('a', 5), ('b', 4), ('c', 10), ('d', 8), ('f', 15), ('g', 2)]
    tree = HuffmanTree(char_weights)
    tree.get_code()

上述过程的时间复杂度为：O(N logN)