贝叶斯个性化排序(BPR)算法小结

矩阵分解在协同过滤推荐算法中的应用中,我们讨论过像funkSVD之类的矩阵分解方法如何用于推荐。今天我们讲另一种在实际产品中用的比较多的推荐算法:贝叶斯个性化排序(Bayesian Personalized Ranking, 以下简称BPR),它也用到了矩阵分解,但是和funkSVD家族却有很多不同之处。下面我们来详细讨论。

一、BPR算法使用背景

    在很多推荐场景中,我们都是基于现有的用户和商品之间的一些数据,得到用户对所有商品的评分,选择高分的商品推荐给用户,这是funkSVD之类算法的做法,使用起来也很有效。但是在有些推荐场景中,我们是为了在千万级别的商品中推荐个位数的商品给用户,此时,我们更关心的是用户来说,哪些极少数商品在用户心中有更高的优先级,也就是排序更靠前。也就是说,我们需要一个排序算法,这个算法可以把每个用户对应的所有商品按喜好排序。BPR就是这样的一个我们需要的排序算法。

二、排序推荐算法背景介绍

     排序推荐算法历史很悠久,早在做信息检索的各种产品中就已经在使用了。最早的第一类排序算法类别是点对方法(Pointwise Approach),这类算法将排序问题被转化为分类、回归之类的问题,并使用现有分类、回归等方法进行实现。第二类排序算法是成对方法(Pairwise Approach),在序列方法中,排序被转化为对序列分类或对序列回归。所谓的pair就是成对的排序,比如(a,b)一组表明a比b排的靠前。我们要讲到的BPR就属于这一类。第三类排序算法是列表方法(Listwise Approach),它采用更加直接的方法对排序问题进行了处理。它在学习和预测过程中都将排序列表作为一个样本。排序的组结构被保持。

    本文关注BPR,这里我们对排序推荐算法本身不多讲,如果大家感兴趣,可以阅读李航的A Short Introduction to Learning to Rank.

三、BPR建模思路

    在BPR算法中,我们将任意用户u对应的物品进行标记,如果用户u在同时有物品i和j的时候点击了i,那么我们就得到了一个三元组\(<;u,i,j>;\),它表示对用户u来说,i的排序要比j靠前。如果对于用户u来说我们有m组这样的反馈,那么我们就可以得到m组用户u对应的训练样本。

    既然是基于贝叶斯,那么我们也就有假设,这里的假设有两个:一是每个用户之间的偏好行为相互独立,即用户u在商品i和j之间的偏好和其他用户无关。二是同一用户对不同物品的偏序相互独立,也就是用户u在商品i和j之间的偏好和其他的商品无关。为了便于表述,我们用\(>;_u\)符号表示用户u的偏好,上面的\(<;u,i,j>;\)可以表示为:\(i>;_uj\)

    在BPR中,这个排序关系符号\(>;_u\)满足完全性,反对称性和传递性,即对于用户集U和物品集I:

    完整性:\(\forall i,j \in I: i \neq j \Rightarrow i >;_u j\; \cup\;  j>;_u i\)

    反对称性:\(\forall i,j \in I: i >;_u j\; \cap\;  j>;_u i \Rightarrow i=j\)

    传递性:\(\forall i,j,k \in I: i >;_u j\; \cap\;  j>;_u k \Rightarrow i>;_uk\)

    同时,BPR也用了和funkSVD类似的矩阵分解模型,这里BPR对于用户集U和物品集I的对应的\(U \times I\)的预测排序矩阵\(\overline{X}\),我们期望得到两个分解后的用户矩阵\(W\)(\(|U| \times k\))和物品矩阵\(H\)(\(|I| \times k\)),满足
\[ \overline{X} = WH^T \]

    这里的k和funkSVD类似,也是自己定义的,一般远远小于\(|U|,|I|\)

    由于BPR是基于用户维度的,所以对于任意一个用户u,对应的任意一个物品i我们期望有:
\[ \overline{x}_{ui} = w_u \bullet h_i = \sum\limits_{f=1}^kw_{uf}h_{if} \]

    最终我们的目标,是希望寻找合适的矩阵\(W,H\),让\(\overline{X}\)\(X\)最相似。读到这里,也许你会说,这和funkSVD之类的矩阵分解模型没有什么区别啊? 的确,现在还看不出,下面我们来看看BPR的算法优化思路,就会慢慢理解和funkSVD有什么不同了。

四、BPR的算法优化思路

    BPR 基于最大后验估计\(P(W,H|>;_u)\)来求解模型参数\(W,H\),这里我们用\(\theta\)来表示参数\(W\)\(H\), \(>;_u\)代表用户u对应的所有商品的全序关系,则优化目标是\(P(\theta|>;_u)\)。根据贝叶斯公式,我们有:
\[ P(\theta|>;_u) = \frac{P(>;_u|\theta)P(\theta)}{P(>;_u)} \]

    由于我们求解假设了用户的排序和其他用户无关,那么对于任意一个用户u来说,\(P(>;_u)\)对所有的物品一样,所以有:
\[ P(\theta|>;_u) \propto P(>;_u|\theta)P(\theta) \]

    这个优化目标转化为两部分。第一部分和样本数据集D有关,第二部分和样本数据集D无关。

    对于第一部分,由于我们假设每个用户之间的偏好行为相互独立,同一用户对不同物品的偏序相互独立,所以有:
\[ \prod_{u \in U}P(>;_u|\theta) = \prod_{(u,i,j) \in (U \times I \times I)}P(i >;_u j|\theta)^{\delta((u,i,j) \in D)}(1-P(i >;_u j|\theta))^{\delta((u,j,i) \not\in D) } \]

    其中,
\[ \delta(b)= \begin{cases} 1&amp; {if\; b\; is \;true}\\ 0&amp; {else} \end{cases} \]
   

    根据上面讲到的完整性和反对称性,优化目标的第一部分可以简化为:
\[ \prod_{u \in U}P(>;_u|\theta) = \prod_{(u,i,j) \in D}P(i >;_u j|\theta) \]

    而对于\(P(i >;_u j|\theta)\)这个概率,我们可以使用下面这个式子来代替:
\[ P(i >;_u j|\theta) = \sigma(\overline{x}_{uij}(\theta)) \]

    其中,\(\sigma(x)\)是sigmoid函数。这里你也许会问,为什么可以用这个sigmoid函数来代替呢? 其实这里的代替可以选择其他的函数,不过式子需要满足BPR的完整性,反对称性和传递性。原论文作者这么做除了是满足这三个性质外,另一个原因是为了方便优化计算。

    对于\(\overline{x}_{uij}(\theta)\)这个式子,我们要满足当\(i >;_u j\)时,\(\overline{x}_{uij}(\theta) >; 0\), 反之当\(j >;_u i\)时,\(\overline{x}_{uij}(\theta) <; 0\),最简单的表示这个性质的方法就是
\[ \overline{x}_{uij}(\theta) = \overline{x}_{ui}(\theta) - \overline{x}_{uj}(\theta) \]

    而\(\overline{x}_{ui}(\theta) , \overline{x}_{uj}(\theta)\),就是我们的矩阵$ \overline{X}\(对应位置的值。这里为了方便,我们不写\)\theta$,这样上式可以表示为:
\[ \overline{x}_{uij} = \overline{x}_{ui} - \overline{x}_{uj} \]

    注意上面的这个式子也不是唯一的,只要可以满足上面提到的当\(i >;_u j\)时,\(\overline{x}_{uij}(\theta) >; 0\),以及对应的相反条件即可。这里我们仍然按原论文的式子来。

    最终,我们的第一部分优化目标转化为:
\[ \prod_{u \in U}P(>;_u|\theta) = \prod_{(u,i,j) \in D} \sigma(\overline{x}_{ui} - \overline{x}_{uj}) \]
    

    对于第二部分\(P(\theta)\),原作者大胆使用了贝叶斯假设,即这个概率分布符合正太分布,且对应的均值是0,协方差矩阵是\(\lambda_{\theta}I\),即
\[ P(\theta) \sim N(0, \lambda_{\theta}I) \]

    原作者为什么这么假设呢?个人觉得还是为了优化方便,因为后面我们做优化时,需要计算$lnP(\theta) \(,而对于上面假设的这个多维正态分布,其对数和\)||\theta||^2$成正比。即:
\[ lnP(\theta) = \lambda||\theta||^2 \]

    最终对于我们的最大对数后验估计函数\(ln\;P(\theta|>;_u) \propto ln\;P(>;_u|\theta)P(\theta) = ln\;\prod\limits_{(u,i,j) \in D} \sigma(\overline{x}_{ui} - \overline{x}_{uj}) + ln P(\theta) = \sum\limits_{(u,i,j) \in D}ln\sigma(\overline{x}_{ui} - \overline{x}_{uj}) + \lambda||\theta||^2\;\)   

    这个式子可以用梯度上升法或者牛顿法等方法来优化求解模型参数。如果用梯度上升法,对\(\theta\)求导,我们有:
\[ \frac{\partial ln\;P(\theta|>;_u)}{\partial \theta} \propto \sum\limits_{(u,i,j) \in D} \frac{1}{1+e^{\overline{x}_{ui} - \overline{x}_{uj}}}\frac{\partial (\overline{x}_{ui} - \overline{x}_{uj})}{\partial \theta} + \lambda \theta \]

    由于
\[ \overline{x}_{ui} - \overline{x}_{uj} = \sum\limits_{f=1}^kw_{uf}h_{if} - \sum\limits_{f=1}^kw_{uf}h_{jf} \]

    这样我们可以求出:
\[ \frac{\partial (\overline{x}_{ui} - \overline{x}_{uj})}{\partial \theta} = \begin{cases} (h_{if}-h_{jf})&amp; {if\; \theta = w_{uf}}\\ w_{uf}&amp; {if\;\theta = h_{if}} \\ -w_{uf}&amp; {if\;\theta = h_{jf}}\end{cases} \]
 

    有了梯度迭代式子,用梯度上升法求解模型参数就容易了。下面我们归纳下BPR的算法流程。

五、BPR算法流程

    下面简要总结下BPR的算法训练流程:  

    输入:训练集D三元组,梯度步长\(\alpha\), 正则化参数\(\lambda\),分解矩阵维度k。          

    输出:模型参数,矩阵\(W,H\)

    1. 随机初始化矩阵\(W,H\)

    2. 迭代更新模型参数:

\[ w_{uf} =w_{uf} + \alpha(\sum\limits_{(u,i,j) \in D} \frac{1}{1+e^{\overline{x}_{ui} - \overline{x}_{uj}}}(h_{if}-h_{jf}) + \lambda w_{uf}) \]

\[ h_{if} =h_{if} + \alpha(\sum\limits_{(u,i,j) \in D} \frac{1}{1+e^{\overline{x}_{ui} - \overline{x}_{uj}}}w_{uf} + \lambda h_{if}) \]

\[ h_{jf} =h_{jf} + \alpha(\sum\limits_{(u,i,j) \in D} \frac{1}{1+e^{\overline{x}_{ui} - \overline{x}_{uj}}}(-w_{uf}) + \lambda h_{jf}) \]

    3. 如果\(W,H\)收敛,则算法结束,输出W,H,否则回到步骤2.

    当我们拿到\(W,H\)后,就可以计算出每一个用户u对应的任意一个商品的排序分:$\overline{x}_{ui} = w_u \bullet h_i $,最终选择排序分最高的若干商品输出。

六、BPR小结

    BPR是基于矩阵分解的一种排序算法,但是和funkSVD之类的算法比,它不是做全局的评分优化,而是针对每一个用户自己的商品喜好分贝做排序优化。因此在迭代优化的思路上完全不同。同时对于训练集的要求也是不一样的,funkSVD只需要用户物品对应评分数据二元组做训练集,而BPR则需要用户对商品的喜好排序三元组做训练集。

    在实际产品中,BPR之类的推荐排序在海量数据中选择极少量数据做推荐的时候有优势,因此在某宝某东等大厂中应用也很广泛。由于BPR并不复杂,下一篇我会用tensorflow来做一个BPR的实践,敬请期待。

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posted @ 2019-07-19 17:53  十七岁的有德  阅读(...)  评论(... 编辑 收藏