[POI2007]ZAP-Queries

前置知识：莫比乌斯函数性质一（不会请点）

进入正题：

题目大意：
\(T\)组数据，每组给出\(a\),\(b\),\(d\)
求

\[\sum_{i=1}^a \sum_{j=1}^b [\gcd(i,j)=d] \]

解析

这题并不难
先变化一波

\[\sum_{i=1}^a \sum_{j=1}^b [\gcd(i,j)=d] = \sum_{i=1}^a \sum_{j=1}^b [\gcd(\frac{i}{d},\frac{j}{d})=1] \]

现在我们知道 \(i=i'*d\) , \(j=j'*d\) 。
不妨，枚举 \(i'\) 和 \(j'\) ，则 \(i'\) 最大为 \(\lfloor \frac{a}{d} \rfloor\) , \(j'\) 最大为 \(\lfloor \frac{b}{d} \rfloor\) .
上式

\[=\sum_{i=1}^{\lfloor \frac{a}{d} \rfloor} \sum_{j=1}^{\lfloor \frac{b}{d} \rfloor} [\gcd(i,j)=1] \]

带入性质一

\[\begin{aligned} &=\sum_{i=1}^{\lfloor \frac{a}{d} \rfloor} \sum_{j=1}^{\lfloor \frac{b}{d} \rfloor} \sum_{k|\gcd(i,j)} \mu(k) \\ &=\sum_{k=1}^{min(\lfloor \frac{a}{d} \rfloor,\lfloor \frac{b}{d} \rfloor)} \mu(k) \lfloor \frac{\lfloor \frac{a}{d} \rfloor}{k} \rfloor \lfloor \frac{\lfloor \frac{b}{d} \rfloor}{k} \rfloor \\ \end{aligned} \]

这样还是过不了，还要用数论分块，才能过。
时间复杂度\(O(\sqrt{\lfloor \frac{a}{d} \rfloor} + \sqrt {\lfloor \frac{b}{d} \rfloor})\)

代码：

#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
int mo[60005],vis[60005],p[60005],tot=0;

void init()
{
	mo[1]=1;
	for (int i=2;i<=50005;i++)
	{
		if (!vis[i]) p[++tot]=i,mo[i]=-1;
		for (int j=1;j<=tot&&p[j]*i<=50005;j++)
		{
			vis[p[j]*i]=1;
			if (i%p[j]==0) break;
			mo[p[j]*i]=-mo[i];
		}
	}
	for (int i=1;i<=50005;i++) mo[i]+=mo[i-1];
}
int main()
{
	init();
	int t;
	scanf("%d",&t);
	while (t--)
	{
		int a,b,d,ans=0;
		scanf("%d%d%d",&a,&b,&d);
		a=a/d,b=b/d;
		for (int l=1,r;l<=min(a,b);l=r+1)
		{
			r=min(a/(a/l),b/(b/l));
			ans+=(a/l)*(b/l)*(mo[r]-mo[l-1]);
		}
		printf("%d\n",ans);
	}
}