回文自动机[学习笔记]

回文自动机一一处理回文串问题的有力武器

这几天一直沉迷字符串数据结构

看了很多大佬的回文自动机学习笔记,稍微有点理解了,整理一下吧

1.概念

\(\quad\)a.大概: 同其他自动机一样,回文自动机是个DAG,它用相当少(\(O(n)\))的空间复杂度就存储了这个字符串的所有回文串信息。一个回文自动机包含不超过\(|S|\)个节点,每个节点都表示了这个字符串的一个不重复的回文子串,同时一个节点会有不超过字符集大小的边连向其他节点,以及一条fail边连向这个点的fail...这些都会在下面介绍

\(\quad\)b.森林: 和别的自动机不太一样,回文自动机是有两棵树的森林:其中一棵是长度为偶数的回文串集合,另一棵是长度为奇数的回文串集合,这两棵树的根节点分别表示长度为0(空串)和-1(无实际含义,便于运算)的回文串;

\(\quad\)c.边:自动机中每条有向边都有一个字符类型的权值,起点的串左右分别加上这个字符得到的就是终点的串。举个栗子:设一条边权为\(c\)的边连接的两个点分别是\(A,B\)\(A\)表示回文串\(aba\),则\(B\)表示的回文串就是\(cabac\) 。特别的,如果\(A\)是那个长度为\(-1\)的根,\(B\)串就是这条边的权值。。。

\(\quad\)d.点:当你插入一个字符的时候,插入的点代表的就是这个字符匹配的最长回文串,也就是说从根节点往下顺着边走,记着一个str一开始为空,一边走一边不停地往str左右两边添加新的字符,走到一个点,这个点代表的回文串就是str

\(\quad\)e.\(fail\)边:每个点都有个fail边,这条边指向这个点所代表的回文串的 最长回文后缀 所在的那个点(最长回文后缀:串中满足回文的最长的后缀,这个串自己不算)如果没有,则指向0(就是那个根节点)。特别的,0的fail节点就是那个长度为-1的点。

2.构造:

\(\quad\)我是用的一个结构体存的,\(len,fail,son[26],siz\) 分别代表这个串的长,fail节点,连出来的每一条边以及这个回文串的数量,如下

struct node{
	int len,fail,son[26],siz;
};
node prt[maxn]; 

我们把两个根下标设为0和1,并根据上面介绍的给他们赋值

	prt[1].len=-1;
	prt[0].fail=prt[1].fail=1;

然后我们就可以把点一个一个加入到回文自动机中,这可以用一个函数\(extend\)来实现,具体实现方法如下:

设我们以前插入的最后一个点为\(last\),这次要插入一个点x,首先要找到一个点\(cur\)为满足前面的字符等于新加入字符的,\(last\)的最长的回文后缀,这个过程可以不停地在\(last\)\(fail\)链上跑,因为\(fail\)所对应的正是串的最长回文后缀,这个可以用下面函数实现:

int getfail(int x){
	while(s[n-prt[x].len-1]!=s[n]) x=prt[x].fail;
	return x;
}

\(cur\)已经包含权值为x的出边了,我们就可以简单地将出边终点的权值++,继续去加下一个点了。如果不包含权值x的边,我们就需要新建一个点\(now\)并让\(cur\)把边连向他,\(now\)代表的长度自然是\(cur\)的长度+2,然后我们只要求出\(now\)\(fail\)就完事了。

\(fail\)的话可以用cur的\(fail\)来求,就用上面求\(cur\)的方法,但是不能用\(cur\)本身(想一想,为什么)

当然最后千万不要忘记把\(last\)的值更新啊\(qwq\)

void extend(int x){
	int cur=getfail(last);
	int now=prt[cur].son[x];
	if(!now){
		now=++num;
		prt[now].len=prt[cur].len+2;
		prt[now].fail=prt[getfail(prt[cur].fail)].son[x];
		prt[cur].son[x]=now;
	}
	prt[now].siz++;
	last=now;
}

累计答案可以从下往上把回文串数目加起来,显然上面的串一定是下面串的子串嘛\(qwq\)

void count(){
	for(int i=num;i>=2;i--)
		prt[prt[i].fail].siz+=prt[i].siz;
}

4.举个栗子:

如图,我们已经把串\(abab\)的回文自动机建好了,下面要添加一个点\(a\),此时\(last=5\)

首先求出\(cur\)\(last\)所代表的回文串\(bab\)前边的字符正好与要加入的字符\(a\)相等,所以\(cur\)就是\(last\),我们发现\(cur\)不存在边权为\(a\)的出边,于是新建个点 6,从\(cur\)连一条边\(a\)到 6;

6 的长度自然是5的长度+2\((a'bab'a)\)

然后求6的\(last\):5的\(fail\)指向3\((b)\),可以发现,3前面的那个字符\(a\)就是新加的字符(怎么那么巧...),于是我们把6的fail指向点3的\(a\)边所指向的点4;

嗯,\(last\)更新为6,6的数量++,结束;

最后累加答案,

\(siz(6)=1\)\(siz(4)=1\)

\(siz(5)=1\)

\((siz(4)+=siz(6))=2\)

\((siz(3)+=siz(5))=2\)

\((siz(2)+=siz(4))=3\)

附:闲得自己也写了个造图的代码。。。

void print(int x){
	if(cz[x]) return;
	cz[x]=1;
	printf("	%d->%d[style=\"dashed\"];\n",x,sam[x].link);
	for(int i=0;i<=25;i++)
		if(sam[x].ch.count(i))
			printf("	%d->%d[label=%d];\n",x,sam[x].ch[i],i),
			print(sam[x].ch[i]);
}
void Vz(){
	printf("digraph zhy{\n	rankdir = LR;\n");
	print(0);
	printf("}\n");
}

5.例题(Luogu-1659):

\(\quad\)这道题的话就是把这些点按照长度从大到小排一遍序,然后前\(k\)个奇数长的乘起来就是答案啦,注意这题k较大,还要用快速幂,代码:

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=1e6+100,P=19930726;
struct node{
	int len,fail,son[26],siz;
	node(){
		len=fail=0;
		for(int i=0;i<=25;i++)
			son[i]=0;
	}
};
node prt[maxn]; 
int n,last,len,num;
ll ans=1,k;
char s[maxn];
ll poww(ll x,int y){
	ll base=1;
	while(y){
		if(y&1) base*=x,base%=P;
		x*=x,x%=P;
		y>>=1;
	}
	return base;
}
bool cmp(node x,node y){
	return x.len>y.len;
}
int getfail(int x){
	while(s[n-prt[x].len-1]!=s[n]) x=prt[x].fail;
	return x;
}
void extend(int x){
	int cur=getfail(last);
	if(!prt[cur].son[x]){
		int now=++num;
		prt[now].len=prt[cur].len+2;
		prt[now].fail=prt[getfail(prt[cur].fail)].son[x];
		prt[cur].son[x]=now;
	}
	prt[prt[cur].son[x]].siz++;
	last=prt[cur].son[x];
}
int main(){
	scanf("%d%d",&len,&k);
	scanf("%s",s);
	last=num=1,prt[1].len=-1;
	prt[0].fail=prt[1].fail=1;
	for(n=0;n<len;n++) extend(s[n]-'a');
	for(int i=num;i>=2;i--)
		prt[prt[i].fail].siz+=prt[i].siz,prt[prt[i].fail].siz%=P;
	sort(prt+1,prt+num+1,cmp);
	int now=1;
	while(k){
		if(now>num){
			printf("-1\n");
			return 0;
		}
		if(prt[now].len%2==0){
			now++;
			continue;
		}
		if(prt[now].siz<k){
			k-=prt[now].siz;
			ans*=poww(prt[now].len,prt[now].siz)%P;
			ans%=P;
			now++;
		}
		else{
			ans*=poww(prt[now].len,k)%P;
			ans%=P;
			k=0;
		}
	}
	printf("%lld\n",ans);
}




posted @ 2018-10-19 09:18  nianheng  阅读(5411)  评论(1编辑  收藏  举报