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文章转自:http://www.wutianqi.com/?p=596

剽窃之,顺便通过我这里给你增加点人气,我就不手推广费了。嘿嘿。

在数学中,某个序列的母函数是一种形式幂级数,其每一项的系数可以提供关于这个序列的信息。使用母函数解决问题的方法称为母函数方法。  

 

母函数可分为很多种,包括普通母函数指数母函数L级数贝尔级数狄利克雷级数。对每个序列都可以写出以上每个类型的一个母函数。构造母函数的目的一般是为了解决某个特定的问题,因此选用何种母函数视乎序列本身的特性和问题的类型。 

 

这里先给出两句话,不懂的可以等看完这篇文章再回过头来看:  

 

“把组合问题的加法法则和幂级数的t的乘幂的相加对应起来”  

“母函数的思想很简单—就是把离散数列和幂级数一一对应起来,把离散数列间的相互结合关系对应成为幂级数间的运算关系,最后由幂级数形式来确定离散数列的构造. “  

我们首先来看下这个多项式乘法:  

 

  

由此可以看出:  

1. x的系数是a1,a2,…an的单个组合的全体。  

2. x2的系数是a1,a2,…a2的两个组合的全体。  

………  

n. xn的系数是a1,a2,….an的n个组合的全体(只有1个)。  

由此得到:  

  

母函数的定义:  

对于序列a0,a1,a2,…构造一函数:  


  

    

称函数G(x)是序列a0,a1,a2,…的母函数  


这里先给出2个例子,等会再结合题目分析:  

 

第一种:  

有1克、2克、3克、4克的砝码各一 枚,能称出哪几种重量?每种重量各有几种可能方案?  

考虑用母函数来接吻这个问题:  

我们假设x表示砝码,x的指数表示砝码的重量,这样:  

1个1克的砝码可以用函数1+x表示,  

1个2克的砝码可以用函数1+x2表示,  

1个3克的砝码可以用函数1+x3表示,  

1个4克的砝码可以用函数1+x4表示,  

上面这四个式子懂吗?  

我们拿1+x2来说,前面已经说过,x表示砝码,x的指数表示重量,即这里就是一个质量为2的砝码,那么前面的1表示什么?1代表重量为2的砝码数量为0个。(理解!)  

不知道大家理解没,我们这里结合前面那句话:  

“把组合问题的加法法则和幂级数的t的乘幂的相加对应起来”  


1+x2表示了两种情况:1表示质量为2的砝码取0个的情况,x2表示质量为2的砝码取1个的情况。  

 

这里说下各项系数的意义:  

在x前面的系数a表示相应质量的砝码取a个,而1就表示相应砝码取0个,这里可不能简单的认为相应砝码取0个就该是0*x2(想下为何?结合数学式子)。  

Tanky Woo 的程序人生http://www.wutianqi.com/  


所以,前面说的那句话的意义大家可以理解了吧?  

 

几种砝码的组合可以称重的情况,可以用以上几个函数的乘积表示:  

(1+x)(1+x2)(1+x3)(1+x4)  

=(1+x+x2+x3)(1+x3+x4+x7)  

=1+x+x2+2x3+2x4+2x5+2x6+2x7+x8+x9+x10    

从上面的函数知道:可称出从1克到10克,系数便是方案数。(!!!经典!!!)  

例如右端有2x5 项,即称出5克的方案有2:5=3+2=4+1;同样,6=1+2+3=4+2;10=1+2+3+4。  

故称出6克的方案有2,称出10克的方案有1 。  


接着上面,接下来是第二种情况:  

 

求用1分、2分、3分的邮票贴出不同数值的方案数:  

大家把这种情况和第一种比较有何区别?第一种每种是一个,而这里每种是无限的。  

  


以展开后的x4为例,其系数为4,即4拆分成1、2、3之和的拆分数为4;  

即 :4=1+1+1+1=1+1+2=1+3=2+2  

这里再引出两个概念整数拆分和拆分数:  

所谓整数拆分即把整数分解成若干整数的和(相当于把n个无区别的球放到n个无标志的盒子,盒子允许空,也允许放多于一个球)。  

整数拆分成若干整数的和,办法不一,不同拆分法的总数叫做拆分数  


现在以上面的第二种情况每种种类个数无限为例,给出模板:  

 

 

 

#include <iostream>
using namespace std;
// Author: Tanky Woo
// www.wutianqi.com
const int _max = 10001; 
// c1是保存各项质量砝码可以组合的数目
// c2是中间量,保存没一次的情况
int c1[_max], c2[_max];   
int main()
{	//int n,i,j,k;
	int nNum;   // 
	int i, j, k;
 
	while(cin >> nNum)
	{
		for(i=0; i<=nNum; ++i)   // ---- ①
		{
			c1[i] = 1;
			c2[i] = 0;
		}
		for(i=2; i<=nNum; ++i)   // ----- ②
		{
 
			for(j=0; j<=nNum; ++j)   // ----- ③
				for(k=0; k+j<=nNum; k+=i)  // ---- ④
				{
					c2[j+k] += c1[j];
				}
			for(j=0; j<=nNum; ++j)     // ---- ⑤
			{
				c1[j] = c2[j];
				c2[j] = 0;
			}
		}
		cout << c1[nNum] << endl;
	}
	return 0;
}

我们来解释下上面标志的各个地方:  

①  、首先对c1初始化,由第一个表达式(1+x+x2+..xn)初始化,把质量从0到n的所有砝码都初始化为1.  


  

②  、 i从2到n遍历,这里i就是指第i个表达式,上面给出的第二种母函数关系式里,每一个括号括起来的就是一个表达式。  


  

③、j 从0到n遍历,这里j就是只一个表达式里第j个变量,比如在第二个表达式里:(1+x2+x4….)里,第j个就是x2*j.  

   

③  k表示的是第j个指数,所以k每次增i(因为第i个表达式的增量是i)。  

   

④  、把c2的值赋给c1,而把c2初始化为0,因为c2每次是从一个表达式中开始的  

posted on 2010-12-01 14:17  newwy  阅读(391)  评论(0编辑  收藏  举报