最大权完美匹配：KM算法的优化

KM算法

设二分图的两部分点集分别为 $X=\{X_1, X_2, \ldots, X_n\}$ 和 $Y=\{Y_1, Y_2, \ldots, Y_m\}$, $\left<X_i, Y_j\right>$ 的边权为 $w_{ij}$.

给两部分点集分别赋点权 $\{A_i\}, \{B_i\}$, 使得 $A_i+B_j \ge w_{ij}$. 取等的边的生成子图叫做相等子图。那么相等子图的完美匹配就是最大权匹配。我们需要适当选取权值，使相等子图有完美匹配。

算法流程如下：

1. 令 $X=\emptyset$, $B_j=0$.
2. 对于 $k=1, 2, \ldots, n$:
   1. 在 $X$ 中加入 $X_k$, 取 $A_k=\max\{w_{kj}\}$.
   2. 搜索一条从 $X_k$ 到 $Y$ 中未匹配点的交错路。
   3. 如果交错路存在：
      1. 修改匹配。
      2. 令 $k \gets k+1$ 重复 $(2)$.
   4. 如果交错路不存在，记搜索树（此时叫做交错树 $M$）顶点集与 $X$ 的交为 $X'$, 与 $Y$ 的交为 $Y'$.
      1. 取 $d=\min\{A_i+B_j-w_{ij} \mid X_i \in X', \left<X_i, Y_j\right> \notin M\}$.
      2. 将 $X'$ 中的所有点权减小 $d$, $Y'$ 中的所有点权增大 $d$. 此时 $A_i+B_j \ge w_{ij}$ 仍然满足，交错树上的边仍然属于相等子图，且至少有一条与交错树相邻的相等子图中的边。
      3. 重复 $(2.2)$.

KM算法需要对每回修改后的子图重新搜索交错路，时间复杂度可达 $O(n^4)$.

优化

由于原交错树仍然是可用的，我们考虑不重新搜索交错路，而是在原交错树上直接扩展新边。

具体地，我们在加入 $X_k$ 的过程中，由 $X_k$ 开始扩展交错树。

对于每个 $Y'$ 中的点，记录它的父结点；对于 $Y_j \in Y \setminus Y'$, 我们维护 $slack_j=\min\{A_i+B_j-w_{ij}\ \mid X_i \in X'\}$, 取得最小值的 $X_i$ 是它的准父结点（有多个任取一个）。

扩展的流程是：

1. 取出 $d=\min\{slack_j\}$. 特别地，当 $d=0$ 是就是继续沿原相等子图扩展。
2. 将 $X'$ 中的所有点权减小 $d$, $Y'$ 中的所有点权增大 $d$, 相应地，所有 $slack$ 减去 $d$.
3. 将 $slack_j$ 取得最小值的 $Y_j$（有多个任取一个）加入 $Y'$, $Y_j$ 的父结点就是原准父结点。
4. 若所加入的 $Y_j$ 还未匹配，说明已经找到交错路，顺着从 $X_k$ 到 $Y_j$ 的路径匹配。
5. 若所加入的 $Y_j$ 已经匹配，将其匹配点加入 $X'$, 更新 $Y'$ 中各点的 $slack$ 和准父结点，重复扩展流程。

在实现上，我们记 $match_j$ 表示 $Y_j$ 的匹配点，$pre_j$ 表示 $Y_j$ 的（准）父结点的匹配点，不存在记为 $0$.

示例代码

示例：假设 $n=m \le 500$, 所有边权和答案绝对值小于 $10^{18}$. 输入 $n$ 和边权，输出 $Y_j$ 的匹配点。

#include <bits/stdc++.h>
const int N=501;
int n, match[N];
bool vis[N];
long long f[N][N], a[N], b[N], slack[N], pre[N];
template<class T1, class T2> bool cmin(T1 &a, const T2 &b)
{
    return b<a?(a=b, true):false;
}
template<class T1, class T2> bool cmax(T1 &a, const T2 &b)
{
    return a<b?(a=b, true):false;
}
int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for(int i=1; i<=n; ++i) {
        for(int j=1; j<=n; ++j)
            scanf("%d", f[i]+j);
        a[i]=*std::max_element(f[i]+1, f[i]+n+1);
    }
    for(int i=1; i<=n; ++i) {
        int x=0, cho;
        memset(vis+1, 0, n);
        memset(pre+1, 0, n*sizeof(int));
        memset(slack+1, 63, n*sizeof(long long));
        match[0]=i;
        do {
            int u=match[x];
            long long min=1e18;
            vis[x]=true;
            for(int v=1; v<=n; ++v) {
                if(!vis[v]) {
                    long long t=a[u]+b[v]-f[u][v];
                    if(cmin(slack[v], t))
                        pre[v]=x;
                    if(cmin(min, slack[v]))
                        cho=v;
                }
            }
            for(int j=0; j<=n; ++j) {
                if(vis[j]) {
                    a[match[j]]-=min;
                    b[j]+=min;
                } else
                    slack[j]-=min;
            }
            x=cho;
        } while(match[x]);
        while(x) {
            match[x]=match[pre[x]];
            x=pre[x];
        }
    }
    for(int i=1; i<=n; ++i)
        printf("%d%c", match[i], " \n"[i==n]);
    return 0;
}