SO(2)，可约表示

为什么SO(2)是一个Abel群? 可以从抽象的群元角度去理解:先转-60度再转30度和先转30度再转-60度是一样的；也可以从矩阵的角度去理解:\(\left( \begin{matrix} \cos\mathrm{(}\theta )& -\sin\mathrm{(}\theta )\\ \sin\mathrm{(}\theta )& \cos\mathrm{(}\theta )\\ \end{matrix} \right)\)和\(\left( \begin{matrix} \cos\mathrm{(}\beta )& -\sin\mathrm{(}\beta )\\ \sin\mathrm{(}\beta )& \cos\mathrm{(}\beta )\\ \end{matrix} \right)\)是对易的。

Abel群的不可约表示一定是一维的。 首先Abel群群元都是对易的，所以Abel群的所有表示都是对易的(可以从群表示的定义去说明),而矩阵分析里面有一个很有用的定理：很多个矩阵两两对易当且仅当他们能够被同时对角化，也就意味着维度大于1的表示是可约的，证明可以在Matrix analysis Theorem 1.3.21中找到:

Theorem 1.3.21. Let \(\mathcal{F} \subset M_n\) be a family of diagonalizable matrices. Then \(\mathcal{F}\) is a commuting family if and only if it is a simultaneously diagonalizable family. Moreover, for any given \(A_0 \in \mathcal{F}\) and for any given ordering \(\lambda_1, \ldots, \lambda_n\) of the eigenvalues of \(A_0\), there is a nonsingular \(S \in M_n\) such that \(S^{-1} A_0 S=\operatorname{diag}\left(\lambda_1, \ldots, \lambda_n\right)\) and \(S^{-1} B S\) is diagonal for every \(B \in \mathcal{F}\).

因此SO(2)的所有表示如果维度大于1一定是可约的，常见的 \(\left( \begin{matrix} \cos\mathrm{(}\theta )& -\sin\mathrm{(}\theta )\\ \sin\mathrm{(}\theta )& \cos\mathrm{(}\theta )\\ \end{matrix} \right)\)表示一定是可约的。

对于SO(2)的例子:\(\left( \begin{matrix} \cos\mathrm{(}\theta )& -\sin\mathrm{(}\theta )\\ \sin\mathrm{(}\theta )& \cos\mathrm{(}\theta )\\ \end{matrix} \right)\),我们可以找到这样一个幺正矩阵\(U=\frac{1}{\sqrt{2}}\left( \begin{matrix} 1& 1\\ -i& i\\ \end{matrix} \right)\)将其对角化为\(U^{\dagger}\left( \begin{matrix} \cos\mathrm{(}\theta )& -\sin\mathrm{(}\theta )\\ \sin\mathrm{(}\theta )& \cos\mathrm{(}\theta )\\ \end{matrix} \right) U=\left( \begin{matrix} e^{-i\theta}& 0\\ 0& e^{i\theta}\\ \end{matrix} \right)\).(自行验证和说明如何找到的这样的\(U\))注意到前面的\(U\)是和\(\theta\)没有关系的，也就是说可以用这一个\(U\)把所有的SU(2)矩阵元素全部对角化，所以常见的\(\left( \begin{matrix} \cos\mathrm{(}\theta )& -\sin\mathrm{(}\theta )\\ \sin\mathrm{(}\theta )& \cos\mathrm{(}\theta )\\ \end{matrix} \right)\)这种表示是可约的。