渐进过程中大O与小o混用

在数学中，大O符号（O）和小o符号（o）都用于描述函数的渐进行为，但它们的含义和强度不同。在实际使用中，需要注意它们的定义和适用场景，以避免误用。

\(O(x)\)

表示一个函数的渐进上界。具体来说，如果存在正常数C和n0，使得对于所有n>n0，有|f(n)| ≤ C|g(n)|，则记f(n)=O(g(n))。这意味着f(n)的增长速度不超过g(n)的某个常数倍。

一般来说在复杂函数的渐进表达式中常采用\(O(x)\)

\(o(x)\)

表示一个函数的渐进上界，但比大O更严格。具体来说，如果对于任意正常数ε，存在n0，使得对于所有n>n0，有|f(n)| ≤ ε|g(n)|，则记f(n)=o(g(n))。这意味着f(n)的增长速度远低于g(n)（或者说g(n)是f(n)的高阶无穷大）。

一般来说在严格的数学定义中均采用\(o(x)\)

\[f'(x) = lim_{h→0} [f(x+h) - f(x)]/h <==> f(x+h) = f(x) + f'(x)h + o(h) \]

总的来说严格程度：
\(O(x)\)<<\(o(x)\)