【大二病也要学离散！】第十八章 一阶逻辑基本概念

数理逻辑五部曲之四，一阶逻辑基本概念.

18.1 一阶逻辑命题符号化

为达到表达出个体和总体之间的内在联系和数量关系，需要引入量词.这就是一阶逻辑所研究的内容，其也称作一阶谓词逻辑或谓词逻辑.
一阶逻辑命题符号化的三个要素:个体词、谓词和量词.
1.个体词是指所研究对象中可以独立存在的、具体的或抽象的客体.表示具体或特定的客体的个体词称作个体常项，一般用小写字母\(a,b,c\)表示;将表示抽象的或泛指的个体词称为个体变项，常用\(x,y,z\)等表示.
称个体变项的取值范围为个体域或论域，其可以是有穷集合也可以是无穷集合.由宇宙间一切事物组成的个体域称为全总个体域，若没有特别指明采用的个体域，则视为使用全总个体域.
2.谓词是用来刻画个体词性质及个体词之间相互关系的词，常用\(F,G,H\)等表示.表示具体关系或性质的谓词称作谓词常项，表示抽象的或泛指的性质或关系的谓词称作谓词变项.无论是谓词常项还是谓词变项都用大写字母\(F,G,H\)表示.
含\(n\)个命题变项的谓词\(P\)称作\(n\)元谓词，记作\(P(x_1,x_2,\ldots,x_n).\)其是以个体域为定义域，以\(\{0,1\}\)为值域的\(n\)元函数或关系.
将不带个体变项的谓词称作零元谓词.当\(F,G,H\)为谓词常项时，零元谓词为命题.任何命题都可以表示为零元谓词，即命题为特殊的谓词.
3.量词是指表示个体常项或变相之间数量关系的词，有全称量词和存在量词.\(\forall xF(x)\)表示个体域中所有个体\(x\)都有性质\(F\),\(\exists xF(x)\)表示个体域中存在个体\(x\)有性质\(F.\)这两者可以混合使用.

当使用全总个体域时，我们引入谓词\(M(x)\)用于限制个体域，称为特性谓词.
注意:\(\rightarrow\)和\(\wedge\)的区别.
注意:在不同个体域内，同一个命题的符号化形式可能不同，也可能相同.
注意:同一个命题，在不同个体域中的真值也可能不同.
注意:未指明个体域时应使用全总个体域.
注意:命题中表示性质和关系的谓词，分别符号化为一元和\(n\)元谓词.
注意:当多个谓词出现时，它们的顺序不能随意调换.
注意:命题的符号化形式不唯一.

18.2 一阶逻辑公式及其解释

一阶语言，是用于一阶逻辑的形式语言，一阶逻辑是建立在一阶语言上的逻辑体系.一阶语言本身是由抽象符号构成的，可以根据需要被解释成各种具体的含义.有多种形式的一阶语言.
个体常项、个体变项、函数、谓词、量词、联结词、括号与逗号、个体常项符号、函数符号和谓词符号称作非逻辑符号，个体变相符号、量词符号、联结词符号和括号与逗号称作逻辑符号.
设\(L\)是一个非逻辑符号集合，由\(L\)生成的一阶语言\(\mathscr{L}\)的字母表包括以下符号:
非逻辑符号:
(1) \(L\)中的个体常项符号，比如\(a,b,c.\)
(2) \(L\)中的函数符号，比如\(f,g,h.\)
(3) \(L\)中的谓词符号，比如\(F,G,H.\)
逻辑符号:
(1) 个体变项符号，比如\(x,y,z.\)
(2) 量词符号
(3) 联结词符号
(4) 括号与逗号
\(\mathscr{L}\)的项定义如下:
(1) 个体常项符号与个体变项符号是项.
(2) 若\(\phi(x_1,x_2,\ldots,x_n)\)是\(n\)元函数符号，\(t_1,t_2,\ldots,t_n\)是项，则\(\phi(t_1,t_2,\ldots,t_n)\)是项.
(3) 所有项都是使用有限次(1)(2)得到的.
设\(R(x_1,x_2,\ldots,x_n)\)是\(\mathscr{L}\)的\(n\)元谓词符号，\(t_1,t_2,\ldots,t_n\)是\(\phi\)的\(n\)个项，则称\(R(t_1,t_2,\ldots,t_n)\)为\(\mathscr{L}\)的原子公式.
注意:零元谓词不是原子公式.
\(\mathscr{L}\)的合式公式，也称谓词公式，简称公式，定义如下:
(1) 原子公式是合式公式
(2) 若\(A\)是合式公式，则\(\neg A\)是合式公式.
(3) 若\(A,B\)是合式公式，则\(A \vee B,A \wedge B,A \rightarrow B,A \leftrightarrow B\)是合式公式.
(4) 若\(A\)是合式公式，则\(\forall xA,\exists xA\)是合式公式.
(5) 有限次运用(1)(2)(3)(4)得到的符号串是合式公式.
注意:\(A,B\)是元语言符号，表示任意的合式公式.
不同的一阶语言使用不同的\(L,\)但它们构造合式公式的规则是一样的.我们不再特殊指明\(L.\)
注意:函数是个体到个体的映射，谓词是个体到真值的映射.
注意:\(L\)不一定要包含全部\(3\)种非逻辑符号，可以只包含其中一种或两种.若一种也不包含，则\(L=\emptyset,\)无意义.当\(L\)不包含谓词符号时，\(\mathscr{L}\)退化为命题逻辑中的语言.

在公式\(\forall xA\)和\(\exists xA,\)称\(x\)为指导变元，\(A\)为量词的辖域.在\(\forall x\)和\(\exists x\)的辖域中，\(x\)的所有出现都称作约束出现.\(A\)中不是约束出现的其他变项都称为自由出现.
例:指出下列公式中的指导变元，各量词的辖域，自由出现以及约束出现的个体变项.
(1) \(\forall x(F(x,y) \rightarrow G(x,z))\)
(2) \(\forall (F(x) \rightarrow G(y)) \rightarrow \exists y (H(x) \wedge L(x,y,z))\)
答案:(1) \(x\)是指导变元，\(\forall\)的辖域为\(A=(F(x,y) \rightarrow G(x,z)),\)在\(A\)中\(x\)约束出现，\(y,z\)自由出现.
(2) 前件量词\(\forall\)的指导变元为\(x,\)辖域为\((F(x) \rightarrow G(y)),\)后件指导变元为\(y,\)辖域为\((H(x) \wedge L(x,y,z)).\)
注意:(2)中前件的\(x\)与后件的\(x\)不是同一个事物，只是两个不同的事物使用了同一个符号.

我们定义\(A(x_1,x_2,\ldots,x_n)\)为\(x_1,x_2,\ldots,x_n\)自由出现的公式，\(\Delta\)表示量词.
设\(A\)是任意公式，若\(A\)中不含自由出现的个体变项，称其为闭式.
要将\(r\)个自由出现的个体变项的公式变成闭式至少要加上\(r\)个量词.
注意:\(\mathscr{L}\)中出现的公式是按照形成规则生成的符号串，没有实际含义.只有将其中变项用实际常项代替后，才有特定含义.
对公式中个体域、个体常项符号、函数符号、谓词符号的指定称作解释，指定自由出现的变量的值称作赋值.
设\(\mathscr{L}\)是由\(L\)生成的一阶语言，其解释\(I\)由下面四部分组成:
(1) 非空个体域\(D_I.\)
(2) 对每一个个体常项符号\(a \in L,\exists \overline{a} \in D_I,\)称\(\overline{a}\)为\(a\)在\(I\)中的解释.
(3) 对每一个\(n\)元函数符号\(f \in L,\exists n\)元函数\(\overline{f}:D_I^n \rightarrow D_I,\)称\(\overline{f}\)为\(f\)在\(I\)中的解释.
(4) 对每一个\(n\)元谓词符号\(F \in L,\exists n\)元谓词常项\(\overline{F},\)称\(\overline{F}\)为\(F\)在\(I\)中的解释.
赋值\(\sigma\):对每一个个体变项符号\(x\)指定\(D_I\)中的一个值\(\sigma(x).\)
设公式\(A\)，规定在解释\(I\)和赋值\(\sigma\)下，取个体域\(D_I,\)将\(a,f,F\)换成\(\overline{a},\overline{f},\overline{F},\)把自由生成的个体变项符号\(x\)替换为\(\sigma(x),\)操作后得到的公式记作\(A'\).称\(A'\)为\(A\)在\(I\)下的解释，或\(A\)在\(I\)下被解释为\(A'.\)
注意:给定\(I\)和\(\delta,\)任何公式都能被解释为命题.若是闭式，则无需\(\sigma.\)
设\(A\)为一公式，若\(A\)在任何解释和该解释下的任何赋值下均为真，则称\(A\)为永真式(或称作逻辑有效式.)若\(A\)在任何解释和该解释下的任何赋值下均为假，则称\(A\)为矛盾式(或称作永假式).若存在至少一个解释和该解释下的一个赋值使\(A\)为真，则称\(A\)是可满足式.
设\(A_0\)含命题变项\(p_1,p_2,\ldots,p_n\)的命题公式，\(A_1,A_2,\ldots,A_n\)有\(n\)个谓词公式，用\(A_i\)出处代替\(A_0\)中的\(p_i,\)称所得公式为\(A_0\)的代换实例.
定理:重言式的代换示例都是永真式，矛盾式的代换示例都是矛盾式.
注意:证明永真式，先设出个体域，解释和赋值，然后慢慢分析.
注意:判断永真式还是矛盾式，则先考虑是否是某个重言式或者矛盾式的代换示例，然后再取出解释和赋值.

下面是一些容易错的题目:
1.通常在\(\forall\)里用\(\rightarrow,\)在\(\exists\)里用\(\wedge.\)

2.注意:数学公式不再重新符号化.

3.将下列命题符号化.
(1) 说有的火车比所有汽车都快是正确的.
(2) 个体域为\(R,\)任给\(\epsilon>0,\)存在\(\delta>0,\)使得当\(|x-x_0|<\delta\)时，均有\(|f(x)-f(x_0)|<\epsilon.\)
(3) 火车都比轮船快.
(4) 有的火车比有的汽车快.
(5) 不存在比所有火车都快的汽车.
(6) 说凡是汽车就比火车慢是不对的.
(7) 若所有的\(x\)都具有性质\(F,\)则所有的\(y\)都有性质\(G.\)
(8) 若存在\(x\)具有性质\(F,\)则所有的\(y\)都没有性质\(G.\)
(9) 不存在最大的自然数.
答案:
(1) \(\exists x(F(x)\wedge \forall y(G(y) \rightarrow H(x,y)))\)
(2) \(\forall \epsilon (\epsilon>0 \rightarrow (\exists \delta(\delta>0 \wedge (|x-x_0|<\delta \rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\epsilon))))\)
(3) \(\forall x \forall y (F(x) \wedge G(y) \rightarrow H(x,y))\)
(4) \(\exists x \exists y(F(x) \wedge G(y) \wedge H(x,y))\)
(5) \(\neg \exists x(G(x) \wedge \forall y(F(y) \rightarrow H(x,y)))\)
(6) \(\neg \forall x (G(x) \rightarrow \forall y(F(y) \rightarrow H(x,y)))\)
(7) \(\forall xF(x) \rightarrow \forall yG(y).\)
(8) \(\exists xF(x) \rightarrow \forall y \neg G(y).\)
(9) \(\neg \exists x(F(x) \wedge \forall y(F(y) \rightarrow H(x,y)).\)

4.判断下列公式的类型
(1) \(\forall x \exists yF(x,y) \rightarrow \exists x \forall yF(x,y).\)
(2) \(\exists x \forall yF(x,y) \rightarrow \forall y \exists xF(x,y).\)
(3) \(F(x) \rightarrow xF(x).\)
(4) \(\exists xF(x) \rightarrow F(x).\)
答案:
(1) 是可满足式，但不是永真式.
(2) 是永真式.
(3) 是可满足式，但不是永真式.
(4) 是可满足式，但不是永真式.

下学期，也请各位继续关注：
《System beats!》
《大二病也要学离散！》
《数算の旅》
《某信息学的概率统计》
还有——

《我的算法竞赛不可能这么可爱》

本期到此结束！