【大二病也要学离散！】第十五章 命题逻辑的基本概念

这一章比较简单，快速过一下.

15.1 命题与联结词

非真即假的陈述句称作命题.
命题的陈述句所表达的判断结果称作命题的真值，真值为真的命题称为真命题，真值为假的命题称为假命题.命题的真值是唯一的.
不能被分解成更简单的命题称为简单命题或者原子命题.在命题逻辑中，简单命题是最小的基本单位.由简单命题通过联结词联结而成的命题，称作复合命题.
注意:命题的两要素，真值唯一，是陈述句.
不能为真也不能为假的陈述句称为悖论，不能称为命题.
用小写英文字母表示命题，用\(0,1\)表示真假，称为命题的符号化.
复合命题可以说是半形式化的，自然语言中有的联结词有二义性，因此需给出数理逻辑的严格定义.
(1) 设\(p\)为命题，\(\neg p\)称为\(p\)的否定式，\(\neg\)称为否定联结词，\(\neg p\)为真当且仅当\(p\)为假.
(2) 设\(p,q\)为命题，\(p \wedge q\)称为\(p\)与\(q\)的合取式，\(\wedge\)称为合取联结词，其为真当且仅当\(p,q\)均为真.
注意:不要看到"与""和"就使用联结词\(\wedge,\)例如"小刚和小王".
(3) 设\(p,q\)是两个命题，\(p \vee q\)称为\(p\)与\(q\)的析取式，\(\vee\)称作析取联结词，\(p \vee q\)为假当且仅当\(p,q\)均为假.
注意:自然语言中的"或"分为相容或和排斥或，相容或指两个可以同时为真，比如"爱唱歌或爱听音乐"；排斥或指只有一个为真、一个为假时，才为真，比如"是江西人或安徽人".我们通常把排斥或写作\((p \wedge \neg q) \vee (\neg p \wedge q).\)
注意:当\(p\)和\(q\)不能同时为真时，也可以把排斥或写成相容或.
(4) 设\(p,q\)是两个命题，\(p \rightarrow q\)称作\(p\)与\(q\)的蕴涵式，其中称\(p\)是蕴涵式的前件，\(q\)是蕴涵式的后件,\(\rightarrow\)称作蕴涵联结词，\(p \rightarrow q\)为假当且仅当\(p\)为真，\(q\)为假.
注意:自然语言中，\(p,q\)可能毫无联系，此时认为\(p \rightarrow q\)为假；但是在数理逻辑中，只考虑\(p,q\)独立的性质，不考虑其关联性.
注意:有时，\(p\)会作为\(q\)的前置条件，因此只需考虑是否会出现前件真后件假的情况，而非单独判断\(p\)和\(q\)的值.
注意:"除非，否则"通常写作\(\neg p \rightarrow q.\)
注意:"只有\(p\),才\(q\)"和"除非\(p\),才\(q\)"通常写作\(q \rightarrow p.\)
注意:"只有，才"和"除非，才"是特例，其它都写作\(p \rightarrow q.\)
(5) 设\(p,q\)是两个命题，\(p \leftrightarrow q\)称为\(p\)与\(q\)的等价式，\(\leftrightarrow\)称为等价联结词.\(p \leftrightarrow q\)为真当且仅当\(p\)与\(q\)同时为真或同时3为假.
记\(S=\{\neq,\wedge,\vee,\rightarrow,\leftrightarrow\},\)称其为常用联结词集.
求复杂复合命题真值的运算顺序,\((),\neg,\wedge,\vee,\rightarrow,\leftrightarrow.\)同级从左到右进行.

15.2 命题公式及其赋值

简单命题是命题逻辑中最基本的研究单位，其真值是确定的，称作命题常项或命题常元，对应地，取值不确定的称为命题变项或命题变元.命题变元不是命题.我们也用\(p,q,r\)表示命题变元.
将命题变项用联结词和圆括号按照一定逻辑关系联结起来的符号串称为合式公式.
(1) 单个命题变项和命题常项是合适公式，并称为原子命题公式.
(2) 若\(A\)是合式公式，则\(\neg A\)是合式公式.
(3) 若\(A,B\)是合式公式，则\(A \wedge B,A \vee B,A \rightarrow B,A \leftrightarrow B\)是合式公式.
合式公式也称作命题公式或命题形式，简称为公式.
若\(A\)是合式公式，\(B\)是\(A\)的一部分，且\(B\)也是合式公式，则称\(B\)为\(A\)的子公式.
我们把以上定义方式称为归纳定义或递归定义.
引进的\(A,B\)等符号，用它们表示任意合式公式，称作元语言符号.某个具体的公式，如\(p,p \wedge q,\)称作对象语言符号.对象语言是用来描述某个对象的语言，元语言是用来描述某个对象语言的语言.
注意:不影响计算顺序时可以省略某些括号
注意:在公式中可以出现\(0\)和\(1,\)看做\(p \wedge \neg p,p \vee \neg p\)的缩写.
下面我们介绍公式层次.
(1) 若\(A\)是单个的命题变项，称其为零层公式.
(2) 若\(A=\neg B,B\)是\(n\)层公式，则\(A\)是\(n+1\)层公式.
(3) 若\(A=B \wedge C,B,C\)分别为\(i\)层和\(j\)层公式，且\(max(i,j)=n,\)则\(A\)是\(n+1\)层公式.
(4) 若\(A=B \vee C,B,C\)分别为\(i\)层和\(j\)层公式，且\(max(i,j)=n,\)则\(A\)是\(n+1\)层公式.
(5) 若\(A=B \rightarrow C,B,C\)分别为\(i\)层和\(j\)层公式，且\(max(i,j)=n,\)则\(A\)是\(n+1\)层公式.
(6) 若\(A=B \leftrightarrow C,B,C\)分别为\(i\)层和\(j\)层公式，且\(max(i,j)=n,\)则\(A\)是\(n+1\)层公式.
(7) 若公式\(A\)的层次为\(k,\)称其为\(k\)层公式.
用命题常项替换公式中的命题变项称为解释.设\(p_1,p_2,\ldots,p_n\)是出现在公式\(A\)中的全部命题变项，给\(p_1,p_2,\ldots,p_n\)各指定一个真值，称为对\(A\)的一个赋值或解释.若指定的一组值使\(A\)为\(1,\)则称这组值为\(A\)的成真赋值，反之称为成假赋值.
含\(n\)个命题变项的公式共有\(2^n\)个不同的赋值.
将命题公式\(A\)在所有赋值情况下取值情况列成表，称该表为\(A\)的真值表.
具体步骤:
(1) 找出全部命题变项，从\(0\)开始按照二进制加法每次加\(1\).
(2) 按照从低到高的顺序写出公式\(A\)的各个层次.
(3) 对应各个赋值写出各层次的真值，最后写出公式\(A\)的真值.
注意:如果两个公式\(A\)与\(B\)的真值表对所有赋值最后一列都相同，即最后结果都相同，则称这两个真值表相同，不考虑中间过程.
注意:若思路清晰，某些中间步骤可以省略.
我们对命题公式进行分类:
(1) 若所有赋值下取值均为真，称为重言式或永真式.
(2) 若所有赋值下取值均为假，称为矛盾式或永假式.
(3) 若不是矛盾式，则称为可满足式.
注意:\(A\)是可满足式的等价定义:至少存在一个成真赋值.
注意:重言式一定是可满足式，反之不真.我们在答题的时候只会答"是重言式"或者"是可满足式，但不是重言式."
注意:可以用真值表来判断公式类型.
我们可以推出,\(n\)个命题变项共产生\(2^n\)个不同的赋值，于是其真值表只有\(2^{2^n}\)种不同情况，因此有无穷多个公式有相同的真值表.
如果公式\(A,B\)中共含有命题变项\(p_1,p_2,\ldots,p_n.\)而\(A\)和\(B\)中不全含这些命题变项，若\(A\)不含\(p_n,\)称其为\(A\)的哑元，其取值与哑元无关.但是在讨论是否有相同的真值表时，可以一起写出考虑.

下面是一些容易错的题目:
1.将下列命题符号化:
(1) 种瓜得瓜，种豆得豆.
(2) 除非天下大雨，否则他不乘班车上班.
(3) 下雪路滑，他迟到了.
(4) 只要别人有困难，老王就帮助别人，除非困难解决了.
答案:(1) 设\(p\)为"种瓜"，\(q\)为"得瓜"，\(r\)为"种豆",\(s\)为"得豆".
则为\((p \rightarrow q) \wedge (r \rightarrow s).\)
(2) 设\(p\)为"天下大雨"，\(q\)为"他乘班车上班".
则为\(\neg p \rightarrow \neg q.\)
(3) 设\(p\)为"下雪"，\(q\)为"路滑",\(s\)为"他迟到了".
则为\((p \wedge q) \rightarrow s.\)
(4) 设\(p\)为"别人有困难"，\(q\)为"老王帮助别人",\(r\)为"困难解决了".
则为:\(\neg r \rightarrow (p \rightarrow q).\)

2.判断下列句子是否是命题:
(4) \(2x+3<5,\)其中\(x\)是任意实数.
答案:不是，因为其真值不唯一.

3.将下列命题符号化，并讨论各命题的真值.
(4) 若今天是星期一，则明天是星期三.
答案:\(p \rightarrow q,\)真值不定.若\(p\)为真，则真值为\(0\).反之真值为\(1\).

4.考虑:什么时候并运算与重言式？什么时候与运算与矛盾式？反之是对的吗？

下学期，也请各位继续关注：
《System beats!》
《大二病也要学离散！》
《数算の旅》
《某信息学的概率统计》
还有——

《我的算法竞赛不可能这么可爱》

本期到此结束！