【大二病也要学离散！】第十三章 群与环

今天的内容很难，那么就说明明天要读三章了.
好艰巨的任务啊~

13.1 群的定义及性质

设\(V=\langle S , \circ \rangle\)是一个具有二元运算的代数系统，若\(\circ\)满足结合律，则称\(V\)为半群，若半群\(V=\langle S, \circ \rangle\)关于\(\circ\)有单位元\(e \in S,\)那么称\(V\)是幺半群，又称独异点.有时也将其记作\(V=\langle S,\circ,e \rangle.\)
设\(G\)是非空集合，\(\circ\)是\(G\)上的二元运算，若它满足下列条件,则称它为一个群.
(1) \(\circ\)满足结合律
(2) 存在单位元
(3) 每个元素都存在逆元
\(\langle Z,+ \rangle,\langle Q,+ \rangle,\langle R,+ \rangle,\langle C,+ \rangle\)都是群，分别称为整数加群、有理数加群、实数加群、负数加群.
对于\(G=\{e,a,b,c\},\)且\(a,b,c\)中任意两个不同元素运算得到第三个元素，两个相同元素运算得到单位元\(e,\)则我们将其称为克莱因(\(\mathrm{Klein}\))四元群,简称为四元群.
设\(\sum\)是有穷字母表，\(\forall k \in N,\)定义集合\(\sum_k=\{a_1a_2\ldots a_k | a_i \in \sum\}.\)它是\(\sum\)上所有长度为\(k\)的串的集合，\(k=0\)时，\(\sum_0=\{\lambda \},\)表示空串.令\(\sum^*=\bigcup\limits_{k=0}^{+\infty}\sum_k\)表示\(\sum\)上所有有限长度的串的集合，\(\sum^+=\sum-\{\lambda \}\)表示所有长度大于\(1\)的串的集合,可以在\(\sum^*\)上定义串的连接运算(可以理解为字符串的加法),它关于连接运算构成一个独异点，称为\(\sum\)上的字代数，其任意子集称作\(\sum\)上的语言.
关于群的定义:
(1) 若\(G\)是有穷集，则称\(G\)是有限群，否则称作无限群，其基数称为\(G\)的阶.
(2) 只含单位元的群称作平凡群.
(3) 若\(G\)中的二元运算是可交换的，称作交换群或阿贝尔(\(\mathrm{Abelian}\)群).
(4) 设\(G\)是群，\(a \in G,n \in Z.a\)的\(n\)次幂定义为\(a^n=\begin{cases} e,n=0,\\ a^{n-1}a, n>0 \\ (a^{-1})^{-n}, n<0 \\ \end{cases}.\)
注意:幂指数在半群为只能取正整数，在独异点中只能取自然数，在群中才能取负整数.
(5) 设\(G\)是群，\(a \in G,\)使得等式\(a^k=e\)成立的最小正整数称为\(a\)的阶，记作\(|a|,\)也称\(a\)为\(k\)阶元，若不存在阶，则称为无限阶元.
关于幂运算的一些性质:
(1) \(\forall a \in G,(a^{-1})^{-1}=a.\)
(2) \(\forall a,b \in G,(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}.\)
(3) \(\forall a \in G,a^na^m=a^{n+m},n,m \in Z.\)
(4) \(\forall a \in G,(a^n)^m=a^{nm}.\)
(5) 若\(G\)为交换群，则\((ab)^n=a^nb^n, n \in Z.\)
(6) 设\(G\)为群，则\(G\)中满足消去律，即\(\forall a,b,c \in G,ab=ac \Leftrightarrow b=c,ba=ca \Leftrightarrow b=c.\)(因为没有零元)
注意:当\(G\)是\(n\)阶群时，\(a_iG\)恰好是\(G\)的运算表中第\(i\)行的全体元素，\(G\)的运算表的每一行都是\(G\)中元素的一个排列.对于每一列也有这种性质.相对地，如果运算表不满足这种性质，那么肯定不是群.
(7) \(|a|=r,\forall k \in Z,a^k=e \Leftrightarrow r \mid k.\)
(8) \(|a|=r,|a^{-1}|=|a|.\)
(9) \(|a|=r,|a^t|=\frac{r}{\mathrm{gcd}(r,t)}.\)
例13.1.6 设\(G\)是群，\(a,b \in G\)且为有限阶元，求证:
(1) \(|b^{-1}ab|=|a|.\)
(2) \(|ab|=|ba|\)
思路:我们证明相等，由于阶的性质，通常考虑证明相互整除.
证明:(1) 设\(|a|=r,|b^{-1}ab|=t,\)由于\((b^{-1}ab)^r=e,\)得\(t \mid r.\)
又由于\(a=(b^{-1})^{-1}(b^{-1}ab)b^{-1},\)因此有\(a^t=e,\)得\(r \mid t.\)
即\(t=r\).
(2) 设\(|ab|=r,|ba|=t,\)有\((ab)^{t+1}=a(ab)^tb=ab,\)由消去律得\(r \mid t,\)同理有\(t \mid r,\)即\(r=t\).
例13.1.7 设\(G\)为有限群，则\(G\)中阶大于\(2\)的元素有偶数个.
思路:我们考虑阶为\(2\)的元素有什么特殊性质?
证明:若\(a^2=e,\)有\(a^{-1}a^2=a^{-1}e,\)即\(a=a^{-1}.\)
若阶大于\(2\),则必有\(a \neq a^{-1},\)即必然成对出现.

13.2 子群与群的配集分解

注意:子群就是群的子代数.
设\(G\)是群，\(H\)是\(G\)的非空子集，如果\(H\)关于\(G\)的运算构成群，那么称\(H\)是\(G\)的子群，记作\(H \leqslant G.\)若\(H\)是\(G\)的子群，且\(H \subset G,\)则\(H\)是\(G\)的真子群，记作\(H<G.\)
任何群都存在子群，\(\{e\}\)和\(G\)称为其平凡子群.
下面是三个子群的判定定理:
(1) \(\forall a,b \in H,ab \in H \wedge \forall a \in H,a^{-1} \in H.\)
(2) \(\forall a,b \in H,ab^{-1} \in H.\)
(3) \(\forall a,b \in H,ab \in H \wedge \emptyset \neq H \subseteq G.\)
下面是一些常见的子群:
\(a \in G,H={a^k | k \in Z}\)称为由\(a\)生成的子群，记作\(\langle a \rangle.\)
令\(C\)是与\(G\)中所有的元素都可交换的元素组成的集合，则其是\(G\)的子群，称作\(G\)的中心.
对于\(G\)的非空子集\(B,\)其所有包含\(B\)的子群的交记作\(\langle B \rangle,\)称为由\(B\)生成的子群.其中元素都是\(B\)的元素或其逆元.
显然有以下定理:\(G\)是群，\(H,K\)是\(G\)的子群，有\(H \cap K \leqslant G,H \cup K \leqslant G \Leftrightarrow H \subseteq K \vee K \subseteq H.\)
设\(G\)为群，\(S=\{H | H \leqslant G\}\)是\(G\)的所有子群的集合，定义关系\(R\)如下:\(\forall H_1,H_2 \in S,H_1RH_2 \Leftrightarrow H_1 \leqslant H_2.\)则\(\langle S,R \rangle\)构成偏序集，称为\(G\)的子群格，可以画出哈斯图哦.

设\(H\)是群\(G\)的子群，\(a \in G,\)令\(Ha=\{ha | h \in H\},\)称\(Ha\)是子群\(H\)在\(G\)中的右陪集，称\(a\)为\(Ha\)的代表元素.
其定理有:
(1) \(He=H.\)
(2) \(\forall a \in G,a \in Ha.\)
(3) \(\forall a,b \in G,a \in Hb \Leftrightarrow ab^{-1} \in H \Leftrightarrow Ha=Hb.\)
注意:两个右陪集相等的充要条件就是(3),在右陪集中的任何元素都可以作为它的代表元素.是不是等价关系和划分很像？
设\(H\)是群\(G\)的子群，在\(G\)上定义二元关系\(R:\forall a,b \in G,\langle a,b \rangle \in R \Leftrightarrow ab^{-1} \in H,\)则\(R\)是\(G\)上等价关系，且\([a]_R=Ha.\)
于是由等价关系和划分的性质有以下推论:
(1) \(\forall a,b \in G,Ha=Hb \vee Ha \cap Hb=\emptyset.\)
(2) \(\cup \{Ha | a \in G\}=G.\)
(3) \(\forall a \in G,Ha \sim H.\)
注意:\(H\)的所有右陪集的集合恰好构成\(G\)的一个划分.
我们同样定义左陪集\(aH=\{ah | h \in G\},a \in G.\)
有以下性质:
(1) \(eH=H.\)
(2) \(\forall a \in G,a \in aH.\)
(3) \(\forall a,b \in G,a \in bH \Leftrightarrow b^{-1}a \in H \Leftrightarrow aH=bH.\)
(4) \(R:\forall a,b \in G,\langle a,b \rangle \in R \Leftrightarrow b^{-1}a \in H,\)则\(R\)是\(G\)上的等价关系，且\([a]_R=aH.\)
(5) \(\forall a \in G,H \sim aH.\)
注意:一般来说\(aH\)与\(Ha\)是不相等的.
设\(H\)是\(H\)的子群，若\(\forall a \in G,aH=Ha\)称\(H\)是\(G\)的正规子群或者不变子群，记作\(H \trianglelefteq G.\)
注意:任何群都有正规子群，因为两个平凡子群都是正规的.对于交换群，它的所有子群都是正规子群.
注意:左陪集数和右陪集数永远相等，统称为\(H\)在\(G\)中的配集数，也称作\(H\)在\(G\)中的指数，记作\([G:H].\)
拉格朗日定理:\(G\)是有限群，\(H \leqslant G,\)则\(|G|=|H| \cdot [G:H].\)
以及其推论:
(1) 设\(G\)是\(n\)阶群，\(\forall a \in G,|a|\)是\(n\)的因子，且有\(a^n=e.\)
(2) 设\(G\)是素数阶的群，则存在\(a \in G,\langle a \rangle = G.\)
(3) \(6\)阶群中必含有\(3\)阶元.
(4) 阶小于\(6\)的群都是阿贝尔群.
群分解的示例:考虑编码\(C\)的一个码字\(a_1a_2\ldots a_n,a_i \in \{0,1\}.\)可以看做\(\{0,1\}\)上的一个\(n\)维向量，所有\(2^n\)个\(n\)维向量构成\(n\)维线性空间\(F_2^n,\)其一个\(k\)维子空间称作\(\{0,1\}\)上的一个\(k\)维线性码，记作\([n,k]\)码.于是\(C=|2^k|.\)其陪集有\(2^{n-k}\)个.
下面介绍最近距离义马原则,我们先构建斯莱皮恩(\(\mathrm{Slepian}\)译码表),第一行是原集合，后面的代表元素逐渐取不在前面集合且\(1\)的个数最少且数值最小的向量，将译码表的第一列称为错误向量.
我们在接受一个码字\(S\)的时候，如果它就是\(C\)中的码字，那么直接翻译；如果不是，查找它在某个陪集\(C+a\)中，将其译作\(S+a\)，这就是距离它最近的码字.

13.3 循环群和置换群

设\(G\)是群，如果存在\(a \in G\)使得\(G=\langle a \rangle,\)则称\(G\)是循环群,\(a\)为\(G\)的生成元.
循环群根据\(a\)的阶可分为两类，\(n\)阶循环群和无限循环群.
若\(|G|=n,a\)为\(n\)阶元，称其为\(n\)阶循环群.若\(a\)是无限阶元，称\(G\)为无限循环群.
则有下列定理:
(1) 若\(G\)是无限循环群，则其只有两个生成元,\(a\)和\(a^{-1}.\)
(2) 若\(G\)是\(n\)阶循环群，则\(G\)有\(\phi(n)\)个生成元.对于任何不大于\(n\)且与\(n\)互素的正整数\(r,a^r\)是\(G\)的生成元.
(3) 设\(G=\langle a \rangle\)是循环群，则它的子群仍为循环群.
(4) 若\(G=\langle a \rangle\)是无限循环群，则\(G\)的子群除\(\{e\}\)之外都是无限循环群.
(5) 若\(G=\langle a \rangle\)是\(n\)阶循环群，则对\(n\)的每个正因子\(d,G\)恰好含有一个\(d\)阶子群.
于是有求循环群子群的方法，如果\(G=\langle a \rangle\)是无限循环群，那么\(\langle a^m \rangle\)是其子群，\(m \in N,\)并且\(\forall m,t \in N,\langle a^m \rangle \neq \langle a^t \rangle.\)若\(G\)是\(n\)阶循环群，先求出\(n\)所有正因子，对于每个正因子\(d,\langle a^{\frac{n}{d}} \rangle\)是其唯一的\(d\)阶子群.
设\(S=\{1,2,\ldots,n\},S\)上的任何双射函数称为\(S\)上的\(n\)元置换.设\(\sigma,\tau\)是\(n\)元置换，其复合也是\(n\)元置换，称作\(\sigma\)和\(\tau\)的乘积.
设\(\sigma\)是\(S=\{1,2,\ldots,n\}\)上的\(n\)元置换，若\(\sigma(i_1)=i_2,\sigma(i_2)=i_3,\sigma(i_3)=i_4,\ldots,\sigma(i_k)=i_1.\)且保持\(S\)中其他元素不变，那么称其为\(S\)上的\(k\)阶轮换，记作\((i_1i_2\ldots i_k),\)若\(k=2,\)称作\(S\)上的对换.
我们可以证明，任何\(n\)元置换都可以表示为不交轮换之积.
为了使轮换表达式更加简洁，通常省略其中的一阶轮换，如果轮换表达式中全是一节轮换，我们可以简记为\((1).\)
当不考虑表达式中轮换的次序的情况下，轮换分解的表达式是唯一的.
同样，对于轮换，它还可以进一步表示为对换之积，所以任何\(n\)元置换都可以表示为对换之积.
注意:对换表达式中的对换允许有交且不唯一，这点与轮换表达式不一样.
如果\(n\)元置换可以表示为奇数个对换之积，那么称其为奇置换，反之称其为偶置换.
考虑所有的\(n\)元置换构成的集合\(S_n,\)它被称为\(n\)元对称群.
所有的\(n\)元偶置换的集合是\(S_n\)的子群，被称为\(n\)元交错群.
\(S_n\)的所有子群被称为\(n\)元置换群.
我们给出波利亚计数定理:设\(N=\{1,2,\ldots,n\}\)是被着色物体的集合，\(G=\{\sigma_1,\sigma_2,\ldots,\sigma_g\}\)是\(N\)上的置换群，用\(m\)种颜色给\(N\)中的元素进行着色，则在\(G\)的作用下不同的着色方案数为\(M=\frac{1}{|G|}\sum\limits_{k=1}^{g}m^{c(\sigma_k)},\)其中\(c(\sigma_k)\)是置换\(\sigma_k\)中包含\(1\)阶轮换在内的轮换个数.
注意:代数系统的同态定义同样适合于群，有关的性质在群中也成立.

13.4 环与域

设\(\langle R,+,\cdot \rangle\)是代数系统，\(+\)和\(\cdot\)是二元运算，若\(\langle R,+ \rangle\)构成交换群，\(\langle R,\cdot \rangle\)构成半群，\(\cdot\)运算关于\(+\)运算满足分配律，则称\(\langle R,+,\cdot \rangle\)是一个环.通常称\(+\)为环中的加法，\(\cdot\)为环中的乘法.
我们有有理数环，整数环，实数环,复数环，\(n\)阶实矩阵环，模\(n\)的整数环\(Z_n\).
为了叙述上的方便，将加法单位元记为\(0,\)乘法的单位元(若存在)记为\(1\),对环中的元素\(x,\)称\(x\)的加法逆元为负元，记作\(-x.\)若\(x\)存在乘法逆元，则将它称作逆元，记作\(x^{-1}.\)类似地，针对环中的加法，用\(x-y\)表示\(x+(-y),nx\)表示\(x+\ldots +x(n\)个\(x),\)用\(-xy\)表示\(xy\)的负元.
关于环的运算性质:
(1) \(\forall x \in R,a0=0a=0.\)
(2) \(\forall a,b \in R,(-a)b=a(-b)=-ab.\)
(3) \(\forall a,b,c \in R,a(b-c)=ab-ac,(b-c)a=ba-ca.\)
(4) \(\forall a_1,a_2,\ldots,a_n,b_1,b_2 \ldots,b_m \in R,n,m \geqslant 2,\)有\((\sum\limits_{i=1}^{n}a_i)(\sum\limits_{j=1}^{m}b_j)=\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}a_ib_j.\)
对于环的运算性质，我们给出以下定义.
(1) 若环中乘法满足交换律，称其为交换环.
(2) 若环中乘法存在单位元，称其为含幺环.
(3) 若\(\forall a,b \in R,ab=0 \rightarrow a=0 \vee b=0,\)称其为无零因子环.
(4) 若其既是交换环、含幺环，又是无零因子环，称其为整环.
(5) 若其是整环，\(|R| \geqslant 2,\)且\(\forall a \in R^*=R-\{0\},a^{-1} \in R,\)称其为域.
例:\(Z_p\)是域.
也可以定义出子整环和子域.
注意:满足费马小定理的数也可能是合数.
选择有限域\(F\)是具有有限个元素的代数系统，它关于加法构成阿贝尔群，\(F-\{0\}\)关于乘法构成阿贝尔群，当\(n\)为素数时，\(\langle Z_n,\oplus,\otimes \rangle\)就是含有\(n\)个元素的有限域，简记为\(Z_n.\)
命题:若\(n\)为素数，那么在域\(Z_n\)中方程\(x^2 \equiv 1(\mathrm{mod} \ n)\)的根只有两个，即\(1\)和\(n-1\).
我们介绍素数测试的概率测试算法:
原理:对奇素数\(n=2^qm+1,\)给定与\(n\)互素的正整数\(a,\)考虑\(a^m \mathrm{mod} \ n,a^{2m}\mathrm{mod} \ n,\ldots,a^{2^qm}\mathrm{mod} \ n.\)
如果某项不等于\(1\)或者\(n-1,\)但是后一项等于\(1,\)从而\(n\)不是素数.
米勒-拉宾(\(\mathrm{Miller-Rabin}\))算法:
随机选择正整数\(a \in \{2,3,\ldots,n-1\},\)然后进行上述测试.
相关算法:

多次测试，使其出错概率指数级下降.
全同态加密:
设\(M,S\)分别表示明文空间和密文空间，\(x,y\)是\(M\)中数据，\(+,\cdot\)分别表示加法运算和乘法运算.若存在有效算法\(Add,Add(E(x),E(y))=E(x+y),\)称加密函数\(E\)对加法运算同态；若存在有效算法\(Multi,Multi(E(x),E(y))=E(xy),\)称加密函数\(E\)对乘法运算同态.若同时满足称为全同态加密函数.
其特点:对运算前的数据作处理再运算，与对运算后的数据作处理，得到结果一样.
\(RSA\)加密仅对乘法满足同态性质，加法不满足，因此不是全同态.

1.注意:如果集合中存在零元，那么一定不是群.
注意:证明环的步骤，先证明运算封闭，再证明加法满足群，乘法满足半群，接着证明分配律.
注意:证明什么都要先证明运算封闭.
注意:大多数时候都要先证明非空.

2.设\(G\)为群，\(x,y \in G,\)且\(yxy^{-1}=x^2,\)其中\(x\)不是单位元，\(y\)是二阶元，求\(x\)的阶.
解:由于\(y\)是二阶元，因此有\(y=y^{-1}.\)两边平方得\(x^4=yx^2y^{-1}=y^2x(y^{-1})^2=x.\)因此\(x\)是三阶元.

3.求陪集，一般采用枚举的方法，第一个陪集就是自身，随后任取不属于任何已列出的陪集的元素作为代表元素，反复即求得.

4.从运算表中判断是否是循环群:先找出单位元，再验证是否存在\(n\)阶元,凡是\(n\)阶元就是生成元.

5.证明子群的思路，通常考虑用定理二，先判断是否为空集，再求出\(ab^{-1}.\)

6.求出所有的子群，先列出运算表，从平凡子群向上枚举，做出一个偏序结构，然后从下往上逐步检查子群的并集，看它们是否构成新的更大的子群,如果能构成就加进去.

7.证明:偶数阶群必含\(2\)阶元.
思路:看到群的阶数是偶数，我们会想到前面的结论.
证明:由前面推论知阶数大于\(2\)的元素数量为偶数，因此\(1\)阶元和\(2\)阶元的数量为偶数，又由于\(1\)阶元只有一个，因此必含\(2\)阶元.

8.小结论:设\(H_1,H_2\)分别是群\(G\)的\(r,s\)阶子群，若\(r\)和\(s\)互素，则有\(H_1 \cap H_2=\{e\}.\)

9.我们有拉格朗日定理的推论，设\(H\)是\(G\)的子群，\(a\)是\(G\)中元素，\(N(a)=\{x \in G | xa=ax\},\)我们有:
(1) \(|H|=|xHx^{-1}|\)
(2) \(|C|\)是\(|N(a)|\)和\(|G|\)的因子
(3) \(|a|=|\langle a \rangle|\)是\(|N(a)|\)和\(|G|\)的因子

10.注意:\(a^2=e,|a|=1\)或\(2.\)

11.注意:对于幂运算归纳时，对负数情况要另外讨论.

12.注意:证明子环的思路:先证明非空，然后证明减法封闭，接着证明乘法封闭.

13.注意:整数环是整环，不是域.
对于\(Z_n,\)其是域当且仅当\(n\)是素数.

14.轮换转交换:第一个按顺序跟后面的交换.

15.设\(S=\{a,b,c\},*\)是\(S\)上的二元运算，且\(\forall x,y \in S,x*y=x.\)
(2) 试通过增加最少的元素使得\(S\)扩张成一个独异点.
答案:增加一个单位元\(e,x*y=\begin{cases} x,x \neq e \wedge y \neq e \\e, x=e \vee y=e \end{cases}.\)
吐槽:这怎么还能改运算法则的.

16.设\(V=\langle \{a,b\},* \rangle\)是半群，且\(a * a=b,\)证明:
(1) \(a*b=b*a\)
(2) \(b*b=b.\)
思路:对于简单的元素数量很少的题目，我们完全可以枚举它们的运算结果.
证明:(1) 若不成立，则必然有\(a*b=b,b*a=a\)或\(a*b=a,b*a=b.\)
若\(a*b=b,b*a=a,\)则\((a*b)*a=b*a=a,a*(b*a)=a*a=b,\)与半群矛盾.
若\(a*b=a,b*a=b,\)则\((a*b)*a=a*a=b,a*(b*a)=a*b=a,\)与半群矛盾.
(2) 若不成立，则\(b*b=a.\)
由(1)得,\(a*b=b*a=a\)或\(a*b=b*a=b,\)
若\(a*b=b*a=a,\)则\((a*b)*b=a*b=a,a*(b*b)=a*a=b.\)与半群矛盾.
若\(a*b=b*a=b,\)则\((a*b)*b=b*b=a,a*(b*b)=a*a=b.\)与半群矛盾.

17.下面给出一些结论
(1) 设\(G\)为群，若\(\forall x \in G,x^2=e,\)则\(G\)为交换群.
(2) 设\(G\)为群，则\(e\)为\(G\)中唯一的幂等元.
(3) 设\(G\)为群，\(a,b,c \in G,\)则\(|abc|=|bca|=|cab|.\)
(4) 设\(G\)为非阿贝尔群，则\(G\)中必然存在非单位元\(a\)和\(b,a \neq b,ab=ba.\)

18.下面给出一些定义:
(1) 设\(G\)为群，\(a \in G,a\)的正规化子\(N(a)=\{x | x\in G,xa=ax\}.\)其是\(G\)的子群.
(2) 设\(G\)为群，\(H\)是\(G\)的子群，\(x \in G,\)称\(xHx^{-1}=\{xhx^{-1} | h \in H\}\)为\(H\)的共轭子群，其是\(G\)的子群.
(3) 设\(A=\{a+bi | a,b \in Z,i^2=-1\},\)其关于复数加法和复数乘法构成环，称为高斯整数环.
(4) 设\(f(x)=a_0+a_1+\ldots +a_nx^n,a_0,a_1 \ldots a_n \in R,\)称\(f(x)\)为实数域上的\(n\)次多项式，所有实数域上的多项式关于多项式加法和乘法构成一个环，称为实数域上的多项式环.
(5) 设\(R\)是环，令\(C=\{x \in R | \forall a \in R,ax=xa\}.\)称\(C\)为环\(R\)的中心，其是\(R\)子环(证明方法见上).

19.注意:循环群一定是阿贝尔群，阿贝尔群不一定是循环群.
注意:看到循环群第一时间取生成元.

20.给定循环群阶数，求其生成元:\(n\)阶循环群则是小于等于\(n\)与其互素的幂次，若是无限循环群则直接取生成元和它的逆元.
求其子群:若是\(n\)阶循环群，则取出\(n\)的所有因数；若是无限循环群，则所有幂次的生成群都是子群.

21.设\(G_1\)是循环群，\(f\)是从\(G_1\)到\(G_2\)的同态，证明\(f(G_1)\)也是循环群.
思路:我们要利用同态的什么性质？
证明:设\(G=\langle a \rangle,\forall y \in f(G_1),y=f(a^i)=f(a*a*a\ldots)=(f(a))^i,\)于是有\(f(G_1)\)也是循环群.

22.有关波利亚引理的题目:通常是考虑绕中心旋转，绕对称轴翻转(考虑是怎样的对称轴)的置换情况.
另一种思路，找出图中所有的对称轴，然后逐渐翻转得到群.(常见于非闭合图形).
具体例题见书和练习，后续我会补上.

23.设\(G\)为群，\(\sim\)为\(G\)上等价关系，且满足\(\forall a,b,c \in G,ab \sim ac \Rightarrow b \sim c.\)求证:等价类\([e]=\{x \in G | e \sim x\}\)构成\(G\)的子群.
证明:易知\([e]\)非空,\(\forall a,b \in [e],e \sim a,e \sim b, \rightarrow a^{-1}a \sim a^{-1}(ab). \Rightarrow a \sim ab,\)即\(e \sim ab, ab \in [e].\)
由于\(e \sim a,\Rightarrow e \sim a^{-1},a^{-1} \in [e].\)
由子群的第一判定定理得，证毕.
注意:虽然第二判定定理最常用，但是第一和第三也有用处.

下学期，也请各位继续关注：
《System beats!》
《大二病也要学离散！》
《数算の旅》
《某信息学的概率统计》
还有——

《我的算法竞赛不可能这么可爱》

本期到此结束！