【大二病也要学离散！】第三章 函数

今天来复习第三章:函数
然后我们的集合论就到此为止了，下次就直接开初等数论和图论

3.1 函数的定义与性质

函数的定义，函数相等的定义(从关系的角度)
注意:判断是不是函数,主要点是定义域和值域存在唯一性以及是否超出值域
例:\(A=N \times N \times N,B=N , f(\langle x,y,z \rangle)=x+y-z\)
证明函数相等的常见思路:从关系的角度从两边证明集合互相包含或者函数运算的相关性质
函数相等满足的条件:
(1) \(\mathrm{dom} F= \mathrm{dom} G\)
(2) \(\forall x \in \mathrm{dom} F= \mathrm{G},\)都有\(F(x)=G(x)\)
定义:设\(A,B\)为集合，若\(f\)为函数，且\(\mathrm{dom} f=A,\mathrm{ran} f \subseteq B\),则称\(f\)是从\(A\)到\(B\)的函数，记作\(f:A \rightarrow B\)
定义:所有从\(A\)到\(B\)的函数的集合记作\(B^A\)，读作\(B\)上\(A\)
注意:\(2^A\)即为\(\{0,1\}^A\)
注意:
当\(A = \emptyset \wedge B = \emptyset, B^A = \{\emptyset \}\)
当\(A = \emptyset \wedge B \not = \emptyset, B^A = \{\emptyset \}\)
当\(A \not = \emptyset \wedge B = \emptyset, B^A = \emptyset\)
定义:设函数\(f:A \rightarrow B,A_1 \subseteq A,B_1 \subseteq B\)
\(f(A_1)=\{f(x) | x \in A_1 \},\)称其为\(A_1\)在\(f\)下的像，\(A_1=A\)时为函数的像.
\(f^{-1}(B_1)=\{x | x \in A, f(x) \in B_1 \},\)称其为\(B_1\)在\(f\)下的原像
注意:得到的像和原像都是集合
满射、单射与双射的概念，跟线性代数里的差不多.
注意:单/满/双射的概念建立在函数的基础上
注意:如果连续函数存在极值点，则它不可能是单射.
构造双射函数:
如果是无穷集，直接构造类似的函数就可以；如果是有穷集，一个个写出元素，然后一一对应即可.(后面有更加深入的讨论)
例:设\(A=\{1,2,\ldots,n\},B=\{1,2,\ldots,m\},\)令\(S=\{f|f:A \rightarrow B\}\)是由从\(A\)到\(B\)中所有函数构成的集合.问:\(S\)中有多少个满射函数?
解:易知\(n \geq m,\)我们考虑采用容斥原理解决这个问题.
设\(P_i\)表示\(i \notin \mathrm{ran} f\)这个性质,则所求=\(|\overline A_1 \cap \overline A_2 \cap \overline A_3 \ldots \overline A_m|\)
易知

\[\begin{align*} |S| & = m^n \\ |A_i| & = (m-1)^n \\ |A_i \cap A_j| & = (m-2)^n \\ & \ldots \\ |A_1 \cap A_2 \cap \ldots \cap A_m| & = 0 \\ \end{align*}\]

于是，由容斥原理

\[\begin{align*} & |\overline A_1 \cap \overline A_2 \cap \overline A_3 \ldots \overline A_m| \\ = & m^n - C_{m}^1 (m-1)^n + C_{m}^2 (m-2)^n + \ldots +(-1)^{m-1} C_{m}^{m-1} 1^n \\ = & \sum\limits_{i=0}^{m} (-1)^i C_{m}^{i} (m-i)^n. \end{align*}\]

常函数、恒等函数、(严格)单调递增函数、(严格)单调递减函数的定义
设\(A\)为集合，对于任意的\(A' \subseteq A,A'\)的特征函数\(\chi_{A'}:A \rightarrow \{0,1 \}\)定义为:

\[\chi_{A'}(a) = \begin{cases} 1, \quad a \in A' \\ 0, \quad a \in A-A' \\ \end{cases}\]

注:不同的子集对应于不同的特征函数

设\(R\)是\(A\)上的等价关系，令

\[\begin{align*} & g:A \rightarrow A/R \\ & g(a) = [a],\forall a \in A \\ \end{align*}\]

称\(g\)为从\(A\)到商集\(A/R\)的自然映射
注:不同的等价关系确定不同的自然映射，恒等关系确定的是双射，其他一般只是满射.

\(W(n)\):最坏情况下时间复杂度
\(A(n)\):平均情况下时间复杂度
分治算法、二分算法

3.2 函数的复合和反函数

注意:复合函数的分界点可能会变化.
下面考虑的都是函数在复合中的特有性质:
若\(F,G\)是函数，则\(F \circ G\)也是函数，且满足以下性质:
(1) \(\mathrm{dom} (F \circ G) = \{x| x \in \mathrm{dom} F, F(x) \in \mathrm{dom} G\}\)
(2) \(\forall x \in \mathrm{dom}(F \circ G),F \circ G(x) = G(F(x))\)
证明思路需要理解，注意:任何函数证明都要考虑其原始定义，即关系
推论:设\(F,G,H\)都是函数，则\((F \circ G) \circ H\)与\(F \circ (G \circ H)\)都是函数，且\((F \circ G) \circ H=F \circ (G \circ H)\)
推论:设\(f:A \rightarrow B,g:B \rightarrow C,\)则\(f \circ g:A \rightarrow C,\)且\(\forall x \in A\)都有\(f \circ g(x)=g(f(x))\)

定理:设\(f:A \rightarrow B,g:B \rightarrow C,\)若\(f,g\)都是单/满/双射，\(f \circ g\)也是单/满/双射
注:该定理的逆命题不为真，反例见书.

定理:设\(f:A \rightarrow B,\)则\(f=f \circ I_B = I_A \circ f\)

对于任意函数\(F\),\(F^{-1}\)不一定是函数，只可能是二元关系
定理:若\(f:A \rightarrow B\)是双射，则\(f^{-1}:B \rightarrow A\)也是双射.
我们称\(f^{-1}\)为\(f\)的反函数
注:若\(f\)不是双射，则不存在反函数.

定理:若\(f:A \rightarrow B\)为双射,则\(f^{-1} \circ f = I_B, f \circ f^{-1} = I_A\)

3.3 双射函数和函数的基数

设\(A,B\)是集合，如果存在从\(A\)到\(B\)的双射函数，那么称\(A\)与\(B\)是等势的，记作\(A \approx B,\)反之则记作\(A \not \approx B.\)
等势集合的例子:
(1) \(Z \approx N\)
(2) \(N \times N \approx N\)
(3) \(N \approx Q\)
(4) \((0,1) \approx R\)
(5) \([0,1] \approx (0,1)\)
(6) \(\forall a,b \in R,a<b,[0,1] \approx [a,b]\)

例:设\(A\)为任意集合，则\(P(A) \approx \{0,1\}^A\)
解:构造从\(P(A)\)到\(\{0,1\}^A\)的函数:

\[f:P(A) \rightarrow \{0,1\}^A,f(A') = \chi_{A'} , \forall A' \in P(A) \]

下面只需证其为双射即可.

定理:设\(A,B,C\)为任意集合，有
(1) \(A \approx A\)
(2) \(A \approx B \Leftrightarrow B \approx A\)
(3) \(A \approx B,B \approx C \Rightarrow A \approx C\)
(其实就是等势有自反性，对称性，传递性)

康托尔定理:
(1) \(N \not \approx R\)
(2) \(\forall A, A \not \approx P(A)\)
这两个性质的证明都很妙

定义:设\(A,B\)为集合，若存在从\(A\)到\(B\)的单射函数，则称\(B\)优势于\(A\)，记作\(A \preccurlyeq \cdot B\),反之则记作\(A \not \preccurlyeq \cdot B\)
定义:设\(A,B\)为集合，若\(A \preccurlyeq \cdot B,A \not \approx B,\)则称\(B\)真优势于\(A\)，记作\(A \prec \cdot B,\)反之则记作\(A \not \prec \cdot B.\)

定理:\(A,B,C\)为任意集合,有
(1) \(A \preccurlyeq \cdot B\)
(2) \(A \preccurlyeq \cdot B,B \preccurlyeq \cdot A, \Rightarrow A \approx B\)
(3) \(A \preccurlyeq \cdot B,B \preccurlyeq \cdot C, \Rightarrow A \preccurlyeq \cdot C\)
提示:证明等势有时构造两个单射函数会更简单.

公式:

\[\begin{align*} N \approx Z \approx \ & Q \approx Z \times Z \\ R \approx [a,b] \approx (c,d) & \approx \{0,1\}^N \approx P(N) \\ {0,1}^A \ & \approx P(A) \\ N & \prec \cdot R \\ A \prec \cdot P(A) \\ \end{align*}\]

\(\forall k \in N,\)定义

\[N_k= \begin{cases} \emptyset, & k=0 \\ \{0,1,\dots,k-1\}, & k \geq 1 \\ \end{cases} \]

于是有，任何有穷集(空集)都与唯一的\(N_k\)等势.

基数的定义:
(1) 设\(A\)是有穷集,则\(A\)的基数记为\(\mathrm{card} A\)(\(|A|\)),定义为:

\[N_k= \begin{cases} 0, A=\emptyset \\ k, A \approx N_k,k \ge 1 \\ \end{cases} \]

(2) 自然数集\(N\)的基数记作\(\aleph_0\)
(3) 实数集\(R\)的基数记作\(\aleph\)

定义:
(1) 若\(A \approx B,\)则称\(A\)与\(B\)基数相等，记作\(\mathrm{A} =\mathrm{B}.\)
(2) 若\(A \preccurlyeq \cdot B, \Rightarrow \mathrm{card} A \leq \mathrm{card} B\)
(3) 若\(\mathrm{card} A \leq \mathrm{card} B.\mathrm{card} A \not = \mathrm{card} B,\)则称A的基数小于B的基数，记作\(\mathrm{card} A \lt \mathrm{card} B\)

于是有

\[\begin{align*} & \mathrm{card} Z=\mathrm{card} Q =\mathrm{card} N \times N =\aleph_0 \\ & \mathrm{card} P(N) =\mathrm{card} 2^N =\mathrm{card} [a,b] =\mathrm{card} (c,d) =\aleph \\ & \aleph_0 \lt \aleph \\ \end{align*}\]

注意:不存在最大的基数
基数分为有穷基数和无穷基数，\(\aleph_0\)是最小的无穷基数.
因此，对于集合\(A\)，若\(\mathrm{card} A \le \aleph_0\),称\(A\)为可数集(可列集)

关于可数集的命题:
(1) 可数集的任意子集都是可数集
(2) 两个可数集的并集是可数集
(3) 两个可数集的笛卡尔集是可数集
(4) 可数集个可数集的并集是可数集
(5) 无穷集的幂集不是可数集

命题无法用的时候还是老老实实构造双射

例:设\(A,B\)为集合,且\(\mathrm{card} A =\aleph_0,\mathrm{card} B = n,n \not ={0},\)求\(\mathrm{card} A \times B\)
法一:易知\(A,B\)都是可数集，令\(A=\{a_0,a_1,\ldots\},B=\{b_0,b_1,\ldots,b_{n-1}\}\)
\(\forall \langle a_i,b_j \rangle, \langle a_k,b_l \rangle \in A \times B, \langle a_i,b_j \rangle = \langle a_k,b_l \rangle \Leftrightarrow i=k,j=l\)
定义函数:

\[\begin{align*} & f: A \times B \rightarrow N \\ & f( \langle a_i,b_j \rangle ) =in+j \ (0 \le j \le n-1) \\ \end{align*}\]

易知\(f\)是从\(A \times B\)到\(N\)的双射函数，因此\(\mathrm{card} A \times B = \mathrm{card} N = \aleph_0\)
法二:\(A\)和\(B\)都是可数集，因此\(A \times B\)也是可数集.
又\(\mathrm{card} A \le \mathrm{A \times B}\),因此\(\mathrm{card} A \times B = \aleph_0\)

一些比较容易错的题目:
1.设\(f:A \rightarrow B,g:B \rightarrow A,h: B \rightarrow A,\)且满足\(g \circ f = h \circ f = I_B\)和\(f \circ g = f \circ h = I_A,\)证明:\(g=h\)
思路:运用函数等式来证明
解:

\[g = I_B \circ g = (h \circ f) \circ g= h \circ (f \circ g) = h \circ I_A = h \]

2.设\(\mathcal{A}=\{A_n | n \in N \},\mathcal{B}=\{B_n | n \in N \},\)且满足:
(1) \(\forall n \in N,A_n \approx B_n.\)
(2) \(\forall n \not = m,A_n \cap A_m = \emptyset,B_n \cap B_m = \emptyset\)
求证:\(\cup A \approx \cup B\)
思路:这种题我们通常采用构造双射函数的方法来完成.
证明:令\(f_i: A_i \rightarrow B_i,f= \cup \{f_n | n \in N\}\)
先证明\(f\)是函数.若存在\(x \in A, \langle x,y_1 \rangle, \langle x,y_2 \rangle \in f,\)由\(f_i\)的单射性以及性质(2)，知\(y_1 = y_2\).
再证明\(f\)是满射，这个由于\(f_i\)的满射性易证.
接着证明\(f\)是单射,若存在\(x_1,x_2 \in A,f(x_1)=f(x_2)=y\),则\(y \in B_i\),由于性质(2)，\(x_1, x_2 \in A_i\),由于\(f_i\)的双射性质得出\(x_1 = x_2\)

3.已知\(A \subseteq B \subseteq C\)且\(A \approx C,\)证明\(\mathrm{card} \ A = \mathrm{card} \ B = \mathrm{card} \ C\)
思路:我们希望通过等势的传递性证明这三个集合等势.
证明:由于包含关系，因此\(f:A \rightarrow B,g:B \rightarrow C\)为单射,有\(A \preccurlyeq B,B \preccurlyeq C\),又由于\(A \approx C\)，因此\(h:C \rightarrow A\)为双射,因此\(g \circ h: B \rightarrow A\)为单射，因此\(B \preccurlyeq A\),因此\(A \approx B\)，因此\(A \approx B \approx C\)，即\(\mathrm{card} \ A = \mathrm{card} \ B = \mathrm{card} \ C\)

4.\(P(A) \approx 2^A，\)注意双射可以是特征函数

5.设\(A,B\)为可数集，证明:
(1) \(A \cup B\)为可数集
(2) \(A \times B\)为可数集
思路:还是构造双射.
(1) 不妨设\(A \cap B = \emptyset,\)若两个集合都是有穷集，则结论是显然的.
若其中一个集合是有穷集，另一个集合是无穷可数集，不妨设\(A=\{a_0,a_1,\dots,a_{n-1}\},\mathrm{card} \ B= \aleph_0\) 构造双射\(h:A \cup B \rightarrow N,\)当\(x \in A\)时\(x=a_i,f(x)=i\),当\(x \in B\)时,\(x = b_j,j=0,1,\ldots, h(x)=j+n.\)
若\(\mathrm{card} \ A=\mathrm{card} \ B = \aleph_0\)，构造双射\(h:A \cup B \rightarrow N,\)当\(x \in A, x=a_i,h(x)=2i+1,\)当\(x \in B,x=b_j,h(x)=2j+1\)

(2)若两个集合都是有穷集，则结论是显然的.
若一个集合是有穷集，另一个集合是无穷可数集,构造双射\(h:A \times B \rightarrow N,h(\langle a_i,b_j \rangle) = i+jn,i=0,1,\ldots,n-1\)
若\(\mathrm{card} \ A =\mathrm{card} \ B,\)构造双射\(h:A \times B \rightarrow N,h(\langle a_i,b_j \rangle) = \frac{(i+j+1)(i+j)}{2}+i\)

启发:书上的几个证明要认真看

6.设\(A\)为非空集合，\(R\)为\(A\)上的等价关系，\(g:A \rightarrow A/R\)为自然映射.
设\(n\)为给定自然数，\(R\)为整数集上的模\(n\)相等关系，求\(g(2),g(0)\)
思路:这种题要分类讨论
解:\(n=1,g(0)=\{0\},g(2)=\{2\}\)
\(n=2,g(0)=g(2)=\{2x | x \in N \}\)
\(n \geq 3,g(0)=\{nx | x \in N \},g(2)=\{nx+2 | x \in N \}\)

7.若\(\mathrm{card} A \ = \aleph,B\)是\(A\)的可数子集，问\(A - B\)是否可数?
证明：若\(A - B\)可数，则由\((A-B) \cup B = A\)知，\(A\)也为可数集，矛盾.

8.设\(f:A \rightarrow A\)是满射函数，且\(f \circ f = f,\)证明\(f = I_A\)
法一:\(\forall \langle x,y \rangle \in f,\)由于\(f \circ f = f\)，因此存在\(\langle x,z \rangle, \langle z,y \rangle \in f\),由于\(f\)是函数，得\(y=z\),又由于\(f\)的满射性，得\(x=y\),于是有\(f = I_A\)

法二:若\(f \not = I_A,\)则存在\(x,f(x) \not = x,\)由于\(f\)是满射，因此存在\(x' \not = x,f(x')=x,\)有\(f(f(x'))=f(f(x))=x \not = x'\)，矛盾.

下学期，也请各位继续关注：
《System beats!》
《大二病也要学离散！》
《数算の旅》
《某信息学的概率统计》
还有——

《我的算法竞赛不可能这么可爱》

本期到此结束！