【大二病也要学离散！】第一章 集合

1.1 集合的基本概念

集合的概念、元素的概念

集合的表示描述方法

• 列举法
• 描述法
• 有的集合不能用列举法表示，如 $ \R $
• 互异性
• 无序性
• 元素与集合的关系(属于)
• 注意：元素的元素不属于集合
• 注意：对任意集合A,A不属于A

集合与集合的关系

• 相等
• 子集
• 真子集

空集的概念

• 空集是任意元素的子集
• 空集只有一个(注意证明)

幂集的概念

• 若\(|A|=n\)，则\(|P(A)|=2^n\),这里\(P(A)\)表示A的子集组成的集合，也称幂集

全集的概念

1.2 集合的运算

集合的运算

• 并集
• 交集
• 相对补（即差集）
• 拓展并（多个集合），记作\(\bigcup\limits_{i=1}^{n}A_i=A_1 \cup A_2 \ldots \cup A_n\)
• 拓展交（多个集合），记作\(\bigcap\limits_{i=1}^{n}A_i=A_1 \cap A_2 \ldots \cap A_n\)
• 若两个集合的交集为 $ \emptyset $ ，则称它们不交
• 对称差，记作 $A \oplus B $，含义为 $ (A-B) \cup (B-A)$
• 对称差性质：\(A \oplus B = A \cup B - A \cap B\)
• 绝对补（补集），记作~$ A $
• 由集合构成的集合记为集族，它的广义交定义为它的元素的交，它的广义并定义为它的元素的并。
• 若集族为空族，那么它的广义交定义为空集，它的广义补未定义(有时定义为全集E)。

集合运算的优先顺序

• 一元运算先于二元运算。
• 一元运算从右到左进行运算，包括绝对补、并集、广义并、广义交。
• 二元运算在无括号的情况下从左到右进行运算，包括相对补、对称差、初级并、初级交。

1.3 集合运算的性质

集合运算的主要算律:

• $ A \cup A = A$
• $ A \cap A = A$
• $ (A \cup B ) \cup C = A \cup (B \cup C)$
• $ (A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$
• $ A \cup B = B \cup A$
• $ A \cap B = B \cap A$
• $ A \cup (B \cap C)= (A \cup B) \cap (A \cup C)$
• $ A \cap (B \cup C)= (A \cap B) \cup (A \cap C)$
• $ A \cup \emptyset = A$
• $ A \cap E = A$
• $ A \cup E = E$
• $ A \cap \emptyset = \emptyset$
• $ A \cup \sim A = E$
• $ A \cap \sim A = \emptyset$
• $ A \cup (A \cap B) = A$
• $ A \cap (A \cup B) = A$
• $ A- (B \cup C)= (A - B)\cap (A - C)$
• $ A- (B \cap C)= (A - B)\cup (A - C)$
• $ \sim(B \cup C) = \sim B \cap \sim C$
• $ \sim(B \cap C) = \sim B \cup \sim C$
• $ \sim \emptyset = E $
• $ \sim E =\emptyset $
• $ \sim \sim A =A$
• 注：分配律适用于括号内有多个集合的情况

证明集合等式的方法

• 证明两边互相包含
• 代入已有的集合等式

一些集合运算性质的重要结果

• $ A \cap B \subseteq A, A \cap B \subseteq B$
• $ A \subseteq A \cup B, B \subseteq A \cup B$
• $ A \subseteq A$
• $ A - B = A \cap \sim B$(重要)
• $ A \cup B = B \Leftrightarrow A \subseteq B \Leftrightarrow A \cap B = A \Leftrightarrow A-B = \emptyset$(重要)，小心环形证明
• $ A \oplus B = B \oplus A$
• $ (A \oplus B) \oplus C = A \oplus (B \oplus C)$
• $ A \oplus \emptyset = A$
• $ A \oplus A = \emptyset$
• $ A \oplus B = A \oplus C \Rightarrow B=C$(重要)
• \(A \cup B - B = A - B\)(重要)

1.4 有穷集的计数

文氏图的定义

容斥原理及其推论

一些例题：
例1.3.7 化简\(((A \cup B \cup C)) \cap (A \cup B) - ((A \cup (B-C))\cap A)\)
思路：我们要从简单的定义出发，而不是看到相对补就马上换成绝对补。
解：左边算出来是\(A \cup B\)，右边算出来是\(A\)
因此答案为\(B-A\)

例1.4.3 错位排列的级数问题。有 \(n\) 个人在参加晚会时寄存了自己的帽子，可是保管人忘记放寄存号了.当每个人领取帽子时，他只能随机选择一顶帽子交给寄存人.问：在 \(n!\) 种领取帽子的方式中有多少种方式使得每个人都没有领到自己的帽子？如果将这些人与他们的帽子分别标号为 \(1,2,\ldots,n\). 设 \(j\) 领到的帽子标号为 \(i_j,j=1,2,\ldots,n,\) 那么这些人领到的帽子可以用 \(i_1 i_2 \ldots i_n\) 来表示，其中每个人都没有领到自己帽子的排列 \(i_1 i_2 \ldots i_n\) 正好满足 \(i_j \not ={j},j=1,2,\ldots,n.\) 称这种排列为错位排列，错位排列数记作 \(D_n.\) 证明：

\[D_n=n![1-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-\ldots+(-1)^{n}\frac{1}{n!}]. \]

思路：这种题一看就是容斥原理的形式，考验我们设状态的方法。
设 \(i\) 拿到自己帽子的集合为 \(A_i\)
由归纳法知
\(|S|=n!\)
\(|A_i|=(n-1)!\)
\(|A_i \cap A_j|=(n-2)!\)
\(\ldots\)
结合上面公式得

\[\begin{align*} D_n &=|\overline A_1 \cap \overline A_2 \cap \ldots \overline A_n| \\ &= n!-C^1_n(n-1)!+C^2_n(n-2)!+\ldots \\ &= n![1-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-\ldots+(-1)^{n}\frac{1}{n!}] \end{align*}\]

下面是一些平时练习中遇到的题目
1.判断下面命题的真假：\(A \cap (B-C)=(A \cap B)-(A \cap C)\)
我们运用恒等变形来计算这种式子（就不用两边包含法了）

\[\begin{align*} RHS & = (A \cap B) \cap (\sim (A \cap C)) \\ & =(A \cap B) \cap (\sim A \cup \sim C) \\ & =(A \cap (\sim A \cup \sim C)) \cap B \\ & =((A \cap \sim A) \cup (A \cap \sim C)) \cap B \\ & =(A \cap \sim C) \cap B \\ & =A \cap (B \cap \sim C) \\ & =A \cap (B - C) \\ & =LHS \end{align*}\]

2.确定下列结合等式成立的充分必要条件.
(1) \(A \cup B = A \cap B\)
思路：我们一般还是通过恒等变形来证明的

\[\begin{align*} A \cup B & = A \cap B \\ A \cup B \cap \sim B & = A \cap B \cap \sim B \\ (A \cup B) - B & = \emptyset \\ A - B & = \emptyset \\ \end{align*}\]

同理可得 \(B - A = \emptyset\)，因此\(A = B\)

(2) $ (A - C) \cup B = (A \cup B) - C $
面对这种式子，我们通常会考虑加上一个 $ \cap C$ 来抵消

\[\begin{align*} (A - C) \cup B & = (A \cup B) - C \\ (A \cap \sim C) \cup B & = (A \cup B) \cap \sim C \\ (A \cap \sim C) \cup B \cap C & = (A \cup B) \cap \sim C \cap C \\ (A \cap \sim C) \cup B \cap C & = \emptyset \\ (A \cup B) \cap (B \cup \sim C) \cap C & = \emptyset \\ (A \cup B) \cap (B \cap C) & = \emptyset \\ B \cap C = \emptyset \\ \end{align*}\]

3.设\(A,B,C\)为任意集合，\(A \cup B = A \cup C\)且\(A \cap B = A \cap C\)，求证:\(B = C\)
思路，两式合并试试？

\[\begin{align*} A \cup B - A \cap B &= A \cup C - A \cap C \\ A \oplus B & = A \oplus C \\ A \oplus A \oplus B & = A \oplus A \oplus C \\ B & = C \\ \end{align*}\]

（其他方法还有很多）

4.设\(\mathcal{A} \not ={\emptyset}\)，证明:\(P(\cap \mathcal{A}) = \cap \{P(\mathcal{A}) | A \in \mathcal{A}\}\)
我们直接证明：

\[\begin{align*} & \forall X \in P(\cap \mathcal{A}),有X \subseteq \cap \mathcal{A} \\ & 因此，\forall A \in \mathcal{A}, 有 X \subseteq A \\ & 即X \in \cap \{P(\mathcal{A}) | A \in \mathcal{A}\} \\ & 即P(\cap \mathcal{A}) \subseteq \cap \{P(\mathcal{A}) | A \in \mathcal{A}\} \\ & 反包含是显然的，证毕 \\ \end{align*}\]

5.判断下列陈述是否正确。
\(A - B = A \Leftrightarrow B = \emptyset\)
思路：找反例，显然 \(A \cap B = \emptyset\) 时错误。

6.化简下列集合表达式
\((A \cap B \cap C) \cup (A \cap \sim B \cap C) \cup (\sim A \cap B \cap C)\)
思路：运用集合运算律
解:

\[\begin{align*} & (A \cap B \cap C) \cup (A \cap \sim B \cap C) \cup (\sim A \cap B \cap C) \\ = & ((A \cap C ) \cup B) \cap ((A \cap C) \cup \sim B) \cup (\sim A \cap B \cap C) \\ = &((A \cup B) \cap (C \cup B)) \cap ((A \cup \sim B) \cap (C \cup \sim B)) \cup (\sim A \cap B \cap C) \\ = &(A \cup (B \cap \sim B)) \cap (C \cup (B \cap \sim B)) \cup (\sim A \cap B \cap C) \\ = &(A \cap C) \cup (\sim A \cap B \cap C) \\ = &C \cap(A \cup (\sim A \cap B)) \\ = &C \cap ((A \cup \sim A) \cap (A \cup B)) \\ = &C \cap (A \cup B) \\ \end{align*}\]

7.判断下列结论是否正确：\((A - B) \cup (B - C) = A - C\)
举反例，\(A=\{1\},B=\{2\},C=\{3\}\)

一个关键结论:\(A \cup B - B = A - B\)

8.设\(A,B,C,D\)为任意集合，判断下列说法是否正确：
若\(A \subset B,C \subset D,\)则\(A \cup C \subset B \cup D\)
反例:\(A=\{1\},B=\{1,3,4\},C=\{3,4\},D=\{1,3,4\}\)

下学期，也请各位继续关注：
《System beats!》
《大二病也要学离散！》
《数算の旅》
《某信息学的概率统计》
还有——

《我的算法竞赛不可能这么可爱》

本期到此结束！