[自存]最短路模版大全！WOW！
也是刷了一段时间的洛谷最短路题单了 感觉该刷的模版差不多也都刷完了
今天来做个总结叭
Part 1:单源最短路算法
首先是dijkstra算法 该算法对于负边、重边会被卡 但是在正向边的情况是比较快的算法
时间复杂度为O(mlogn)
直接看代码吧（优先队列优化的）：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,s;
int head[1000005],ver[1000005],nex[1000005],d[100005],vis[100005],edge[1000005];
int x,y,z,tot;
const int INF=2147483647;
priority_queue<pair<int,int>>q;
void add(int x,int y,int z){
ver[++tot]=y;edge[tot]=z;
nex[tot]=head[x];head[x]=tot;
}
void dijkstra(){
q.push(make_pair(0,s));
while(!q.empty()){
int x=q.top().second;q.pop();
if(vis[x]) continue;
vis[x]=1;
for(int i=head[x];i;i=nex[i]){
int y=ver[i],z=edge[i];
if(d[y]>d[x]+z){
d[y]=d[x]+z;
q.push(make_pair(-d[y],y));
}
}
}
}
int main(){
scanf("%d%d%d",&n,&m,&s);
for(int i=1;i<=m;i++){
scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
add(x,y,z);
}
for(int i=1;i<=n;i++){
d[i]=INF,vis[i]=0;
}
d[s]=0;
dijkstra();
for(int i=1;i<=n;i++){
cout<<d[i]<<' ';
}
system("pause");
return 0;
}
然后是spfa算法（她死了），可以处理负环和重边，但是极端情况（如菊花图）会被卡
时间复杂度为O(km) k为一个较小的常数 菊花图会退化成Bellmen-ford算法 时间复杂度为O(mn)
看算法：
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
int n,m,tot;
int d[100005],v[100005];//v[x]表示x在不在队列中，spfa和dijkstra最大的差别就是一个是队列 另一个大根堆 用的是vis表示是否走过 且vis变为1后不会变化
int x,y,z;
int nex[100005],head[100005],ver[100005],edge[100005];
int sx;
queue<int>q;
void add(int x,int y,int z){
ver[++tot]=y;
edge[tot]=z;
nex[tot]=head[x];
head[x]=tot;
}
void spfa(int sx){
memset(d,0x3f,sizeof(d));
memset(v,0,sizeof(v));
d[sx]=0;v[sx]=1;
q.push(sx);
while(!q.empty()){
int x=q.front();q.pop();
v[x]=0;
for(int i=head[x];i;i=nex[i]){
int y=ver[i],z=edge[i];
if(d[y]>d[x]+z){
d[y]=d[x]+z;
if(!v[y]){
q.push(y);
v[y]=1;
}
}
}
}
}
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=m;i++){
scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
add(x,y,z);
}
scanf("%d",&sx);
spfa(sx);
for(int i=1;i<=n;i++){
printf("%d ",d[i]);
}
system("pause");
return 0;
}
Part 2 全源最短路径
这里不介绍Johnson算法 原因很简单就是还没刷到哈哈
我们介绍一下Floyd算法 它的时间复杂度为O(\(n^3\))
所以看到比较小的数据的时候可以使用哦
有点类似于DP
直接上代码吧:
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
int n,m;
int ma[1005][1005];
int dp[1005][1005];
int a[10005];
ll ans;
int main(){
memset(dp,0x3f,sizeof(dp));
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=m;i++){
scanf("%d",&a[i]);
}
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=n;j++){
scanf("%d",&dp[i][j]);
}
}
for(int k=1;k<=n;k++){
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=n;j++){
dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k][j]);
}
}
}
for(int i=1;i<=m-1;i++){
ans+=dp[a[i]][a[i+1]];
}
printf("%lld",ans);
system("pause");
return 0;
}
Part 3 衍生的模版
Section A 负环
前面提到 SPFA算法可以处理负环 那么要怎么处理呢？
答案是 用计数数组计数入队次数（不是松弛次数！） 然后开心地如果>=n+1就有负环
看代码:
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
int t,n,m,tot;
int u,v,w;
int head[20005],nex[20005],ver[20005],edge[20005];
int cnt[20005],vis[20005],d[20005];
void add(int x,int y,int z){
ver[++tot]=y;
edge[tot]=z;
nex[tot]=head[x];
head[x]=tot;
}
void spfa(int sx){
queue<int>q;
d[sx]=0,vis[sx]=1,cnt[sx]=1;
q.push(sx);
while(!q.empty()){
int x=q.front();q.pop();
vis[x]=0;
for(int i=head[x];i;i=nex[i]){
int y=ver[i],z=edge[i];
if(d[y]>d[x]+z){
d[y]=d[x]+z;
if(!vis[y]){
cnt[y]++;
if(cnt[y]>=n){//这里判断的应该是入队次数而不是松弛次数
printf("YES\n");
return ;
}
vis[y]=1;
q.push(y);
}
}
}
}
printf("NO\n");
}
int main(){
scanf("%d",&t);
while(t--){
scanf("%d%d",&n,&m);
memset(head,0,sizeof(head));
memset(nex,0,sizeof(nex));
memset(ver,0,sizeof(ver));
memset(edge,0,sizeof(edge));
memset(cnt,0,sizeof(cnt));
memset(vis,0,sizeof(vis));
memset(d,0x3f,sizeof(d));
tot=0;
for(int i=1;i<=m;i++){
scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
if(w>=0){
add(u,v,w);
add(v,u,w);
}
else{
add(u,v,w);
}
}
spfa(1);
}
system("pause");
return 0;
}
Section B 传递闭包
其实就是对于一个要么0要么1的传递关系
检验任意两点间是否有传递性
用Floyd跑
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
int n;
int ma[105][105];
int dp[105][105];
int main(){
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=n;j++){
scanf("%d",&ma[i][j]);
}
}
for(int k=1;k<=n;k++){
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=n;j++){
ma[i][j]|=ma[i][k]&ma[k][j];
}
}
}
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=n;j++){
printf("%d ",ma[i][j]);
}
cout<<endl;
}
system("pause");
return 0;
}
Section C 差分约束
我们把差分约束的题面放上来：
P5960 【模板】差分约束
题目描述
给出一组包含 \(m\) 个不等式，有 \(n\) 个未知数的形如：
的不等式组，求任意一组满足这个不等式组的解。
输入格式
第一行为两个正整数 \(n,m\)，代表未知数的数量和不等式的数量。
接下来 \(m\) 行，每行包含三个整数 \(c,c',y\)，代表一个不等式 \(x_c-x_{c'}\leq y\)。
输出格式
一行，\(n\) 个数，表示 \(x_1 , x_2 \cdots x_n\) 的一组可行解，如果有多组解，请输出任意一组，无解请输出 NO。
输入输出样例 #1
输入 #1
3 3
1 2 3
2 3 -2
1 3 1
输出 #1
5 3 5
说明/提示
样例解释
\(\begin{cases}x_1-x_2\leq 3 \\ x_2 - x_3 \leq -2 \\ x_1 - x_3 \leq 1 \end{cases}\)
一种可行的方法是 \(x_1 = 5, x_2 = 3, x_3 = 5\)。
\(\begin{cases}5-3 = 2\leq 3 \\ 3 - 5 = -2 \leq -2 \\ 5 - 5 = 0\leq 1 \end{cases}\)
数据范围
对于 \(100\%\) 的数据，\(1\leq n,m \leq 5\times 10^3\)，\(-10^4\leq y\leq 10^4\)，\(1\leq c,c'\leq n\)，\(c \neq c'\)。
评分策略
你的答案符合该不等式组即可得分，请确保你的答案中的数据在 int 范围内。
如果并没有答案，而你的程序给出了答案，SPJ 会给出 There is no answer, but you gave it，结果为 WA；
如果并没有答案，而你的程序输出了 NO，SPJ 会给出 No answer，结果为 AC；
如果存在答案，而你的答案错误，SPJ 会给出 Wrong answer，结果为 WA；
如果存在答案，且你的答案正确，SPJ 会给出 The answer is correct，结果为 AC。
Solution
好啦，你要怎么办？
具体解释可以看大佬的喔 我只做算法实现的说明
由于有负环 所以我们采用SPFA算法跑最长路（注意 是最长路）
构建一个超级源点0 0到每个点都连一条权值为0的边
建图的时候建(a,b,-c)，注意是-c
然后以0为起点跑一遍最长路 如果存在负环就无解 反之0到每个点的最长路就是一组解
2025.04.03 补充
我们在某些题目中 为了确保连通性 需要建立超级源点
诶？上面好像说过了
然后 要注意题目有没有什么“至少有一个答案要是0”这种特殊处理
看代码叭:
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
int n,m,tot;
int x,y,z;
int flag=0;
int head[20005],nex[20005],edge[20005],ver[20005];
int d[20005],v[20005],cnt[20005];
queue<int>q;
void add(int x,int y,int z){
ver[++tot]=y;
edge[tot]=z;
nex[tot]=head[x];
head[x]=tot;
}
void spfa(int sx){
memset(d,-1,sizeof(d));
memset(v,0,sizeof(v));
d[0]=0,v[0]=1;cnt[0]=1;
q.push(0);
while(!q.empty()){
int x=q.front();q.pop();
v[x]=0;
for(int i=head[x];i;i=nex[i]){
int y=ver[i],z=edge[i];
if(d[y]<d[x]+z){
d[y]=d[x]+z;
if(!v[y]){
cnt[y]++;
if(cnt[y]>n+1){
flag=1;
return ;
}
v[y]=1;
q.push(y);
}
}
}
}
}
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;i++){
add(0,i,0);
}
for(int i=1;i<=m;i++){
scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
add(x,y,-z);
}
spfa(0);
if(flag==1){
cout<<"NO";
system("pause");
return 0;
}
for(int i=1;i<=n;i++){
cout<<d[i]<<' ';
}
system("pause");
return 0;
}
好啦 终于讲完了
2025.04.03 补充
为什么这里没有放美图？
赶紧放一张
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