剑无情 人却有情

浅说——数位DP

老子听懂了!!!!!

好感动!!!

不说多了:Keywords: 数位DP,二进制,异或。

“在信息学竞赛中,有一类与数位有关的区间统计问题。这类问题往往具有比较浓厚的数学味道,无法暴力求解,需要在数位上进行递推等操作。”——刘聪《浅谈数位类统计问题》

这类问题往往需要一些预处理,这就用到了数位DP

例题:不要62

需要统计区间[l,r]的满足题意的数的个数,这往往可以转换成求[0,r]-[0,l)    

基本思想与方法

有了上述性质,我们就可以从高到低枚举第一次<n对应位是哪一位。

这样之前的位确定了,之后的位就不受n的限制即从00...0~99...9,可以先预处理,然后这时就可以直接统计答案。

预处理F数组。

F[i,st] 代表 位数为i(可能允许前导0。如00058也是个5位数),状态为st的方案数。这里st根据题目需要确定。

如i=4,f[i,st]也就是0000~9999的符合条件的数的个数(十进制)

决策第i位是多少(such as 0~9)

F[i,st] = F[i,st] + f[i–1,st']

st'为相对应的状态

参照刚刚所说的基本思路。预处理f数组,然后统计[0,m] - [0,n).

f[i,j]代表开头是j的i位数中不含"62"或"4"的数有几个。

如f[2,6]包含60,61,63,65,66,67,68,69

for(i=1;i<=7;i++)//因为数据为1000000,所以预处理7位
for(j=0;j<=9;j++)//第i位
for(k=0;k<=9;k++)//第i-1位
if(j!=4&&!(j==6&&k==2))f[i][j]+=f[i-1][k];

接下来,怎么算出0-n和0-m区间的答案数呢?

用一个通用函数(Cal):

如456=f[3][0]+f[3][1]+f[3][2]+f[3][3]+f[3][4]//(为什么不枚举到5呢?因为再下一位枚举了)

           +f[2][0]+f[2][1]+f[2][2]+f[2][3]+f[2][4]//(就是这一位)

           +f[1][0]+f[1][1]+f[1][2]+f[1][3]+f[1][4]+f[1][5]+f[1][6].
具体代码如下:
#include<cstdio>//最右边是第一位
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int f[10][10];
int Cal(int k)//求1~k中有多少符合的数.
{
    int len,digit[10],i,j,ans=0;
    memset(digit,0,sizeof(digit)),len=0;//digit[i]为当前的某个数从右到左第i个位置的数是多少.
    while(k>0){digit[++len]=k%10;k/=10;}
    for(i=len;i>=1;i--)
    {
        for(j=0;j<=digit[i]-1;j++)//每一位只能到k的下一位,所以计算的数实际只能到k-1.所以Cal()中传数要加1.
        {
            if(j!=4&&!(j==2&&digit[i+1]==6))ans+=f[i][j];
        }
        if(digit[i]==4||(digit[i]==2&&digit[i+1]==6))break; //如果这一位本来就没法,则后面的情况报废
    }
    return ans;
}
int main()
{
    int n,m,i,j,k;
    memset(f,0,sizeof(f));//f[i][j]为以j开始的且不含"62"和"4"位数为i的个数.
        f[0][0]=1;
        for(i=1;i<=7;i++)
        {
            for(j=0;j<=9;j++)//第i位
            {
                for(k=0;k<=9;k++)//第i-1位
                {
                    if(j!=4&&!(j==6&&k==2))f[i][j]+=f[i-1][k];
                }
            }
        }
    while(1)
    {
        scanf("%d %d",&n,&m);
        if(n==0&&m==0)break;
        printf("%d\n",Cal(m+1)-Cal(n));//因为当前的Cal(k)是计算出从1到k-1的符合条件的数的个数,所以要计算n~m的个数要用Cal(m+1)-Cal(n).
    }
    return 0;
}
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变式模板题_P2657 [SCOI2009]windy数

这题还是很简单的啦(差点没做出来

个位打表大佬请离开(包括记搜),我这里讲的是DP!!!

首先Cal(b+1)-Cal(a),大家都懂吧(算了,复制一遍吧<<((因为当前的Cal(k)是计算出从1到k-1的符合条件的数的个数,所以要计算a~b的个数要用Cal(b+1)-Cal(a).))>>)

f[i][j]定义一样,以j开始的且符合条件的总位数为i的答案个数.(好绕啊

预处理转移不用讲吧:f[i][j]+=f[i-1][k];(还是复制了)

有个小细节,每个一位数答案都为1,所以分f[1][j]=0.

重点讲讲不同之处(Cal函数):

显然位数比x要小的数字都是合法的都在[1,x)区间内,直接统计就行.(第一次加ans)

位数和x一样最高位的数字比x小的数字都是合法的都在[1,x)区间内直接统计就行(第二次加ans)

位数和x一样,最高位又和x一样我们从左到右扫一遍x各个位子上的数字大小然后枚举合法的该位子上的数[0,9]判断是否合法就行。(第三次加ans)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int f[15][15];
int a,b;
int digit[15],cnt,ans;
void init ()
{
    for (int i=0;i<=9;i++) f[1][i]=1;
    for (int i=2;i<=10;i++)
    for (int j=0;j<=9;j++)
    for (int k=0;k<=9;k++)
    if(abs(j-k)>=2)
    f[i][j]+=f[i-1][k];
}
int Cal(int x)
{
    //freopen("a.in", "r", stdin);
    memset(digit,0,sizeof(digit));
    ans=0;
    cnt=0;
    while(x)
    {
        digit[++cnt]=x%10;
        x/=10;
    }
    //三种情况
    for (int i=1;i<cnt;i++) 
    for (int j=1;j<=9;j++) 
    ans+=f[i][j];        //在不到x位数前,所有情况符合。
    for (int i=1;i<digit[cnt];i++)  ans+=f[cnt][i];      //x位数,最高位未到digit[cnt]。 
    for (int i=cnt-1;i>=1;i--)//x位数,最高位到digit[cnt]
    {
        for (int j=0;j<digit[i];j++)
        if(abs(j-digit[i+1])>=2)
        ans+=f[i][j];
        if(abs(digit[i]-digit[i+1])<2)
        break;
    }
    //printf("%d\n",ans);
    return ans;
}
void work()
{
    cin>>a>>b;
    cout<<Cal(b+1)-Cal(a)<<'\n';
}
int main()
{
    init();
    work();
    return 0;
}
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练习:P2602 [ZJOI2010]数字计数

同步题解

加油……

 

posted @ 2019-05-22 14:02 mzyczly 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏
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