为了方便找（以下内容99%出自deepseek、oiwiki和神秘题解、文章，出错了可能是软件识别错了……）
组合数
\[\sum_{i=0}^{n}\begin{pmatrix}n\\i\end{pmatrix}=2^n
\]
证明：二项式定理 \(a=b=1\)。
\[\sum_{i=0}^{n}(-1)^{i}\begin{pmatrix}n\\i\end{pmatrix}=[n=0]
\]
证明：二项式定理 \(a=1,b=-1\)，当 \(n=0\) 时 \((1-1)^n=1\)。
\[\sum_{i=0}^k\binom{n}{i}\binom{m}{k-i}=\binom{n+m}{k}
\]
证明：从 \(n+m\) 个数中选 \(k\) 个数，可以把这 \(n+m\) 分成两半，一半大小是 \(n\)，另一半大小为 \(m\)，枚举从左半边选多少个数。
\[\binom{n}{k}=\frac{n}{k}\binom{n-1}{k-1}
\]
\[\sum_{i=0}^n i\binom{n}{i}=n 2^{n-1}
\]
证明：把 \(\binom{n}{i}\) 用上面的式子拆开，然后 \(\frac{n}{i}\times i=n\)，把 \(n\) 提到前面去，后面的式子是上面的式子。
\[\sum_{i=0}^n i^2\binom{n}{i}=n(n+1) 2^{n-2}
\]
不会证
\[\sum_{l=0}^n\binom{l}{k}=\binom{n+1}{k+1}
\]
证明：考虑 \(S={1,2,\cdots,n+1}\) 的 \(k+1\) 子集数，左边的式子相当于枚举选的子集最后一个数所在位置。
\[\begin{pmatrix}n\\i\end{pmatrix}\begin{pmatrix}i\\j\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}n\\j\end{pmatrix}\begin{pmatrix}n-j\\i-j\end{pmatrix}
\]
证明：组合意义：从 \(n\) 个数中选 \(i\) 个数，再从 \(i\) 个数中选 \(j\) 个数的方案等价于从 \(n\) 个数中选 \(j\) 个数，这 \(j\) 个数自然也在要选的 \(i\) 个数内，那么还要从剩下的 \(n-j\) 个数中选出 \(i-j\) 个数。
\[\sum_{i=0}^n\binom{n-i}{i}=F_{n+1}
\]
不会
\[\binom{n+k}{k}^2=\sum_{j=0}^k\binom{k}{j}^2\binom{n+2 k-j}{2 k}
\]
不会
容斥：
\[\vert\bigcup_{i=1}^{n}S_i\vert=\sum_{m=1}^{n}(-1)^{m-1}\sum_{a_i<a_{i+1}}\vert\bigcap_{i=1}^{m} S_{a_i}\vert
\]
证明：设一个元素在 \(T_1,T_2,\cdots,T_n\) 内，那他对答案贡献为
\[\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i-1}\begin{pmatrix}n\\i\end{pmatrix}=1-\sum_{i=0}^{n}(-1)^{i}\begin{pmatrix}n\\i\end{pmatrix}=1-(1-1)^{n}=1
\]
如果不在那贡献为 \(1-(1-1)^0=0\)，得证。
对于两个集合函数 \(f(S),g(S)\)，如果
\[f(S)=\sum_{T\subseteq S}g(T)
\]
那么就有
\[g(S)=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{\vert S\vert-\vert T\vert}f(T)
\]
证明：将上面式子带入第一个式子
\[\begin{aligned}
g(S)
&=\sum_{T\subseteq S}\sum_{Q\subseteq T}(-1)^{\vert S\vert-\vert T\vert}g(Q)\\
&=\sum_{Q\subseteq S}g(Q)\sum_{Q\subseteq T\subseteq S}(-1)^{\vert S\vert-\vert T\vert}\\
&=\sum_{Q\subseteq S}g(Q)\sum_{T\subseteq(S\setminus Q)}(-1)^{\vert (S\setminus Q)\vert-\vert T\vert}\\
&=\sum_{Q\subseteq S}g(Q)\sum_{i=0}^{\vert S\setminus Q\vert}(-1)^{i}\begin{pmatrix}\vert S\setminus Q\vert\\i\end{pmatrix}\\
&=\sum_{Q\subseteq S}g(Q)(1-1)^{\vert S\setminus Q\vert}\\
&=g(S)\\
\end{aligned}\]
得证。
另一个形式：
\[f(S)=\sum_{S\subseteq T}g(T)
\]
\[g(S)=\sum_{S\subseteq T}(-1)^{\vert S\vert-\vert T\vert}f(T)
\]
证明：集合变成补集然后一毛一样
min-max 容斥
对于一个序列 \(x\) 的下标集合 \(S\) 来说
\[\max_{i\in S}x_{i}=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{\vert T\vert-1}\min_{i\in T}x_i
\]
证明：设 \(p\) 是序列中第 \(k\) 小的数，定义 \(f(p)=\{1,2,\cdots,k\}\)，可得 \(f(\min(x,y))=f(x)\cap f(y),f(\max(x,y))=f(x)\cup f(y)\)
\[\begin{aligned}
\vert f(\max_{i\in S}x_i)\vert
&=\vert \bigcup_{i\in S}f(x_i)\vert\\
&=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{\vert T\vert-1}\vert\bigcap_{i\in T}f(x_i)\vert
\end{aligned}\]
二项式反演：
记 \(f_n\) 表示恰好使用 \(n\) 个不同元素形成特定结构的方案数，\(g_n\) 表示从 \(n\) 个不同元素中选出 \(i \ge 0\) 个元素形成待定结构的总方案数。
若已知 \(f_n\) 求 \(g_n\) ，那么显然有：
\[g_n=\sum_{i=0}^n\binom{n}{i} f_i
\]
若已知 \(g_n\) 求 \(f_n\) ，那么：
\[f_n=\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}(-1)^{n-i} g_i
\]
上述已知 \(g_n\) 求 \(f_n\) 的过程，就称为二项式反演。
证明：
将反演公式的 \(g_i\) 展开得到：
\[\begin{aligned}
f_n & =\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}(-1)^{n-i}\left[\sum_{j=0}^i\binom{i}{j} f_j\right] \\
& =\sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^i\binom{n}{i}\binom{i}{j}(-1)^{n-i} f_j\\& =\sum_{j=0}^n \sum_{i=j}^n\binom{n}{i}\binom{i}{j}(-1)^{n-i} f_j \\
& =\sum_{j=0}^n f_j \sum_{i=j}^n\binom{n}{i}\binom{i}{j}(-1)^{n-i}\\& =\sum_{j=0}^n f_j \sum_{i=j}^n\binom{n}{j}\binom{n-j}{i-j}(-1)^{n-i} \\
& =\sum_{j=0}^n\binom{n}{j} f_j \sum_{i=j}^n\binom{n-j}{i-j}(-1)^{n-i}
\end{aligned}
\]
令 \(k=i-j\) ，则 \(i=k+j\) ，上式结换为：
\[\begin{aligned}
f_n&=\sum_{j=0}^n\binom{n}{j} f_j \sum_{k=0}^{n-j}\binom{n-j}{k}(-1)^{n-j-k}
\\&=\sum_{j=0}^n\binom{n}{j} f_j[n=j]\\&=f_n\end{aligned}
\]
类似：莫比乌斯反演、q-二项式反演
一般性证明框架
定理：设 \(\odot\) 是一个线性运算符，\(c(n, k)\) 是系数，若满足：
1．正交关系：
\[\sum_{k=0}^n c(n, k) d(k, m)=[n==m]
\]
（其中 \(d(k, m)\) 是逆系数）。
2．符号交替性：
\(c(n, k)\) 或 \(d(k, m)\) 包含交替符号（如 \((-1)^{n-k}\) 或 \(\mu(d)\) ）。
则以下反演成立：
\[g_n=\sum_{k=0}^n c(n, k) f_k \quad \Leftrightarrow \quad f_n=\sum_{k=0}^n d(n, k) g_k
\]
证明：
1．假设 \(g_n=\sum_{k=0}^n c(n, k) f_k\) 。
2．代入反演公式：
\[\sum_{k=0}^n d(n, k) g_k=\sum_{k=0}^n d(n, k) \sum_{m=0}^k c(k, m) f_m=\sum_{m=0}^n f_m \sum_{k=m}^n d(n, k) c(k, m)
\]
3．由正交关系，内层求和为 \([n==m]\) ，故仅 \(m=n\) 的项保留：
\[\sum_{m=0}^n f_m [n==m]=f_n
\]
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