Thin Plate Spline (薄板样条函数)(TPS)
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一直不太明白TPS是什么东西，今天特地上网查了一下，总结如下： 1. TPS是一种插值方法，它寻找一个通过所有的控制点的弯曲最小的光滑曲面；就像一个薄铁板，通过所给定的几个“样条”（比如木条），铁板表面是光滑的。弯曲最小由一个能量函数定义，就是wiki上的那个双重积分。 2. 对于3个不共线的控制点，TPS是一个平面，多于三个是一个曲面，少于三个则是未定义的。 3. TPS常用来对形状进行 non-rigid 变形，比如给定原始形状的有限点集A，变形后的对应目标点集B，设C=B-A，对(Ax,Ay, Cx)拟合出一个TPS，就可以得到x方向的内插函数；对(Ax,Ay, Cy)拟合出来的TPS则可以得到y方向的内插函数。这样一以来对于不在点集中的点，我们就可以插值得到目标点。从而完成整个面的变形。 4. 某些情况下数据（控制点坐标）可能存在噪声，这时可能会放松要求，TPS得到的曲面不一定要通过所有的控制点（类比B样条），这就是正则化（regularization ），并由一个正则化参数λ控制。如果λ＝0就是普通的TPS，如果λ为无穷大，TPS就退化为均方误差最小平面（平面的弯曲量为0），对于变形操作来说就是一般的仿射变换。 5. TPS是一种径向基函数，径向基函数主要是用来解决插值问题的，这种函数只与到某个点的距离有关，所以叫径向，又因为它们是函数空间中用来逼近函数的基（类似于多项式函数或三角函数），所以叫径向基。 6. 仿射变换保持点的共线性和直线的平行性，可由平移、旋转、缩放、翻转(Flip)和错切(Shear)变换等原子操作叠加实现。平移、旋转、翻转(Flip)不会改变物体形状，属于刚性(rigid)变换。注意错切变换不是Photoshop中的斜切（只拖动一个控制点），后者不保持直线的平行性。仿射变换是线性的，透视变换不是线性的。 7. 正定阵是可逆的。 8. TPS是非参，有解析解(Closed-form solution)的。 TPS的C++程序示例：http://elonen.iki.fi/code/tpsdemo/ |
