从平面几何到向量

目录

• 元素
• 5条公设和5条公理
  • 公理（一般性公理）：
  • 公设(也叫几何公理)：
• 勾股定理的证明
• 标准化处理几何问题——向量

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几何就是将现实空间简化成一些简单的元素，那就从认识最基础的元素开始。

元素

从一个点开始，点动成线，线动成面。

元素分为：

• 点
• 线
• 面

线分为：

• 直线
• 曲线
• 切线
• 复合线（多根线组成，相交线、平行线...）

两条线的不同摆放方式，分为：

• 平行
• 相交

线通过旋转的方式，可以生成图形：

• 角（固定一端，移动一端）
• 正方形、长方形（平移）
• 圆形（固定一端，移动一周）
• 复合图形（多个角、正方形、圆形组合而成）

角根据旋转的幅度可以分为：

• 锐角
• 直角
• 钝角
• 平角

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从生活经验中抽取出了最简单直观的10条基础，这10条基础无需再解释。

5条公设和5条公理

分为5条最基础的一般性共性，和5条适用于整个平面几何体系的一般性共性：

公理（一般性公理）：

1. 等同于相同事物的事物会相互等同。
   如果a=b，b=c，
   那么a=c；

2. 若等同物加上等同物，则整体会相等。
   如果a=b，c=d，
   那么a+c=b+d;

3. 若等同物减去等同物，则其差会相等。
   如果a=b，c=d，
   那么a-c=b-d;

4. 相互重合的事物会相互等同。
   彼此能重合的物体（图形）是全等的;

5. 整体大于部分。

公设(也叫几何公理)：

1. 两点确定一条直线。
   

2. 直线可以无限延长。
   

3. 给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆。
   

4. 所有直角相等。
   

5. 若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条直线在这一边必定相交。
   

第五公设的解释：

若一条直线与两条直线相交，并且它们在某一侧的内角和小于两个直角（即小于180度），那么这两条直线在各自延长后，在内角和小于两个直角的一侧相交。

内角就是三线八角中的同旁内角。

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勾股定理的证明

经过一些系列的公理公设和众多定理的推演，我们得出了：$ c^2 = a^2 + b^2 $

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标准化处理几何问题——向量

代数运算允许我们使用公式和算法来解决问题，而不依赖于直观的几何图形。这使得问题更容易被计算机处理，也更容易推广到更高维空间。

向量作为几何和代数之间的桥梁，通过坐标表示和运算规则，将几何问题转化为代数问题。

这种转换不仅简化了问题，还扩展了数学的应用范围，在现代工程中已经成为标准工具一般使用。

下面是用向量证明勾股定理。