平面几何的公理和定理笔记

目录

• 元素
• 5条公设和5条公理
  • 公理（一般性公理）：
  • 公设(也叫几何公理)：
• 定理的证明
  • 第一卷：基础几何（三角形、全等、平行线）
  • 第二卷：几何代数学
  • 第三、四卷：圆与正多边形
  • 第五卷：比例理论
  • 第六卷：相似图形

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直接说学它的作用吧：

• 通过几条公理和公设和逻辑推理就能证明和验证其它定理；
• 数形结合思想，提供另一个看待事物的视角能力；
• 对复杂事物的拆分和分析能力；
• 祛魅，即使是复杂的事物，解构之后，发现都是一些简单设定的堆积；
• 也算一种考古和祭祖了...

万物从一些简单的元素开始，我说的。

元素

从一个点开始，点动成线，线动成面。

线由不同的运动，分为：

• 直线
• 曲线
• 复合线（多根线组成，相交线、平行线...）
• 切线

两条线的不同摆放方式，分为：

• 平行
• 相交

线通过旋转的方式，可以生成图形：

• 角（固定一端，移动一端）
• 正方形、长方形（平移）
• 圆形（固定一端，移动一周）
• 复合图形（多个角、正方形、圆形组合而成）

角根据旋转的幅度可以分为：

• 锐角
• 直角
• 钝角
• 平角

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5条公设和5条公理

古人积累了最公共的5条最基础的一般性共性，和5条适用于整个平面几何体系的一般性共性：

公理（一般性公理）：

1. 等同于相同事物的事物会相互等同。
   如果a=b，b=c，
   那么a=c；

2. 若等同物加上等同物，则整体会相等。
   如果a=b，c=d，
   那么a+c=b+d;

3. 若等同物减去等同物，则其差会相等。
   如果a=b，c=d，
   那么a-c=b-d;

4. 相互重合的事物会相互等同。
   彼此能重合的物体（图形）是全等的;

5. 整体大于部分。

公设(也叫几何公理)：

1. 两点确定一条直线。
   

2. 直线可以无限延长。
   

3. 给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆。
   

4. 所有直角相等。
   

5. 若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条直线在这一边必定相交。
   

第五公设的解释：

若一条直线与两条直线相交，并且它们在某一侧的内角和小于两个直角（即小于180度），那么这两条直线在各自延长后，在内角和小于两个直角的一侧相交。

内角就是三线八角中的同旁内角。

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定理的证明

《几何原本》里面记录了一些经典的定理。

第一卷：基础几何（三角形、全等、平行线）

这是整个体系的基石，大部分定理在今天的初中几何中仍然常见。

基础部分：

1. 命题1：在给定线段上作一个等边三角形。
   • 这是全书第一个命题，展示了如何用圆规和直尺进行基本作图。
2. 命题4：（边角边定理） 如果两个三角形有两边及其夹角对应相等，那么这两个三角形全等。
   • 这是第一个关于三角形全等的判定定理，是整个全等理论的基础。
3. 命题5：（等腰三角形定理） 在等腰三角形中，两底角相等。
   • 这是一个非常基础且重要的定理，其证明本身（“驴桥定理”）就很有名。
4. 命题15：（对顶角定理） 如果两条直线相交，则它们形成的对顶角相等。
   • 极其直观且常用的定理。

平行线理论（核心）：
5. 命题27/28/29：平行线的判定和性质。这组定理确立了与平行线相关的内错角、同位角、同旁内角之间的关系。
* 命题27：如果一条直线与两条直线相交，所成的内错角相等，则这两条直线平行。
* 命题29：一条直线与两条平行线相交，则内错角相等，同位角相等，同旁内角互补。
* 这是平行线理论的基石，命题29的证明必须依赖于著名的第五公设（平行公设）。
6. 命题32：三角形内角和定理 三角形的三个内角之和等于两个直角（180°）。
* 这是一个里程碑式的定理，其证明依赖于平行线性质（命题29），因此也依赖于第五公设。
7. 命题47/48：勾股定理及其逆定理
* 命题47：在直角三角形中，斜边上的正方形面积等于两直角边上的正方形面积之和。（勾股定理）
* 命题48：如果三角形一边上的正方形面积等于其他两边上的正方形面积之和，则这两边所夹的角是直角。（勾股定理的逆定理）
* 这是《几何原本》中最高光的成就之一，欧几里得用了著名的“新娘的椅子”图来证明。

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第二卷：几何代数学

这一卷用几何图形来表述代数恒等式，在当时没有代数字符系统的情况下非常重要。

常见定理（几何化的代数）：
8. 命题1：如果有一条直线被分成两段，那么这条直线为一边的矩形面积等于各小段为一边的矩形面积之和。
* 几何上表示：a(b+c+d) = ab + ac + ad。
9. 命题4/5/6：完全平方公式和平方差公式的几何表达。
* 命题4：(a+b)² = a² + 2ab + b²
* 命题5：(a+b)(a-b) + b² = a² （黄金分割相关）
10. 命题11：分割线段成中外比（黄金分割）。
* 将一条线段分成两部分，使得整体与较大部分之比等于较大部分与较小部分之比。

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第三、四卷：圆与正多边形

这部分专注于圆的性质和圆内/外接图形的作图。

常见定理：
11. 命题III.20：圆心角定理 在一个圆中，同一弧所对的圆心角是圆周角的两倍。
* 这个定理是很多后续圆定理的基础。
12. 命题III.31：（泰勒斯定理） 半圆上的圆周角是直角。
* 这是圆心角定理的一个特例，但非常著名和有用。
13. 命题III.35：如果圆内有两条弦相交，则一条弦被分成的两段的乘积等于另一条弦被分成的两段的乘积。
* 这是“相交弦定理”的雏形。
14. 命题IV：正多边形的作图。包括如何在圆内接或外切正五边形、六边形、十边形等。这些作图问题非常精妙。

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第五卷：比例理论

这是《几何原本》逻辑体系的巅峰，由欧多克索斯提出，其严谨性甚至可以处理无理数。它不依赖于几何形状，是一套通用的比例理论。

核心概念（与其说是定理，不如说是精确定义）：
15. 比例的定义（定义5）：这是整个比例理论的基石。它用“量”的倍数来定义四个量成比例，巧妙地避开了对无理数的直接讨论。
* 简单说，如果 a:b = c:d，那么对于任意正整数 m, n，都有：
* 若 ma > nb，则 mc > nd
* 若 ma = nb，则 mc = nd
* 若 ma < nb，则 mc < nd
16. 命题V.16：（更比定理） 如果 a:b = c:d，那么 a:c = b:d。
17. 命题V.22：（合比定理） 如果 a:b = c:d，那么 (a+b):b = (c+d):d。

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第六卷：相似图形

将第五卷的比例理论应用到几何图形上，从而发展出相似理论。

常见定理：
18. 命题VI.2：（平行线分线段成比例定理） 如果一条直线平行于三角形的一边，则它截另外两边成比例线段。
* 这是相似三角形证明中最常用的定理。
19. 命题VI.4/5：相似三角形的判定定理。
* 命题VI.4：如果两个三角形的对应角相等，则它们的对应边成比例（两角对应相等）。
* 命题VI.5：如果两个三角形的对应边成比例，则它们的对应角相等（三边对应成比例）。
20. 命题VI.8：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
21. 命题VI.19：（相似图形面积比定理） 相似三角形的面积之比等于其对应边之比的平方。
* 这个定理可以推广到所有相似多边形。