差分约束系统详解

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差分约束系统就是给出一些形如x-y<=b不等式的约束，问你是否有满足问题的解，或者求最小，最大解。

这个问题的神奇之处是可以转化为图论的最短路问题。

一、预备知识：SPFA算法

详见我的最短路算法详解（Dijkstra/SPFA/Floyd）

二、差分约束的转化原理

对于图论的最短路径，有：对于d(v) <= d(u) + w(u, v) ，而差分约束系统的解法利用到了单源最短路径问题中的三角形不等式。

移项得：d(v) - d(u) <= w(u, v)，是不是和上面的x-y<=b的一样？

是的，这就是转化为最短路径算法的原理。

三、建图

根据题目的意思进建图。

如POJ 1201

题目大意：

有一个序列，题目用n个整数组合 [ai，bi，ci]来描述它，[ai，bi，ci]表示在该序列中处于[ai，bi]这个区间的整数至少有ci个。如果存在这样的序列，请求出满足题目要求的最短的序列长度是多少。
思路：

设s[i]为从1~i的整数个数。

这样对于区间[ a , b]显然有 S[b] - S[a-1] >=c[i] （为什么是a-1?因为闭区间a也要选上呀）

然后还有

0<= S[B]-S[B-1] <=1 （整数的话最多比前一个大一，好吧，我大二- -|||我不二啊！！）

变形得：

S[B]-S[B-1] >=0
S[B-1]-S[B]>=-1

四、用SPFA解需要注意的：

1.原图可能不是连通图，故需要加一个超级源点S，从S到任意的顶点边权为0，然后从该点出发。为什么？添加从虚点S到每个顶点的权为0的边.这是为了保证构造出来的图是连通的．由于虚点本身并不引入负圈,所以设置虚点以后最短路仍然存在,并且每个约束仍然满足.

或者差分约束不用什么附加顶点, 附加顶点的唯一用处就是保证图的连通性, 不让你有负环判不到的情况, 解决这种问题的最佳途径就是初始把所有顶点都加入队列, 并且将所有dis

置0, 这就相当于加了一个不存在的附加顶点, 它与所有的顶点的直连长度都是0.

当然推荐第二种，效率也高。

2.如果求最小的解，那么我们一开始把dis设为无穷小，并且使用最长路。即 if(d[v] < d[u]+w(u,v)) 进行更新，而建图的时候也要用大于等于。

如果求最大，那么我们一开始把dis设为无穷大，使用最短路。

为什么？

问得好！（- -|||）以求解最大的为例（最小解同理）dis[id]一开始为无穷大，图最短路更新的条件为： if(d[v]>d[u]+w(u,v)) d[v]=d[u]+w(u,v); 通过不断的松弛，使得d的值不断变小，直到满足所有条件，也就是说满足条件的时候就是最大的了~

那么，我们建图的时，都转化为A-B<=C这种形式，以（B为起点，向A连接一条权值为C的边）因为图的最短路有：d[v]- d[u]<=w(u,v); 即（ d[v]<=d[u]+w(u,v); ）

所以，当你在纠结用小于号大于号的时候，看看题目求的是最大还是最小，如果只是判断有木有解，那么大于号小于都可以，只不过要注意全部等式要统一。

题目：