YCOJ 002

YC001（育才20240823模拟赛）

T1:

更是逆天。

考虑枚举出现在序列中的种类数 \(i\)，那么最后序列的情况一定是连续几个长度为 \(i\) 的区间里面 1~i 只出现一次，然后最后剩下 \(n\%i\) 个数特殊处理，最后的柿子就是：

\[i!^{n/i}\times (n\%i)!\times C_i^{n\%i}\times C_m^i \]

表示从 \(m\) 里选 \(i\) 个数组成 \(n/i\) 个长度为 \(i\) 的区间的所有排列乘上特殊区间的所有排列法。

T2:

定义 \(f_i\) 表示强制选第 \(i\) 个且合法的最小代价，显然

\[f_i=\min_{j}f_j+a_i \]

显然 \((j,i)\) 之间不能有一整个区间，否则这里面的区间会没有点，那么处理一下 \(j\) 的范围即可。

T3:

先把几个特殊的情况判了，需要思考的只有 \(\gcd(a,b)=1\) 或者 \(\gcd(a,b)!=1\),

• \(\gcd(a,b)!=1\) 显然可以用 \(gcd(a,b)\) 当跳板，\(x+y\)。
• \(\gcd(a,b)=1\),显然可以用 \(a,b\) 的最小质因子当跳板，但不一定会最小，所以加一个 \(2\) 进去当跳板跑最短路即可。

T4:

出题人少放一个条件，直接变不可做题/kk。

玩一下给的条件：

\[2\times (a_1 \bigotimes a_2 \bigotimes ...\bigotimes a_n) \geq (a_1 |a_2 |...|a_n) \]

分类讨论一下：

令 \(A=2\times (a_1 \bigotimes a_2 \bigotimes ...\bigotimes a_n)\)，\(B=(a_1 |a_2 |...|a_n)\)。

• 如果最高位是 \(1\)，即最高位是 \(1\) 的数有奇数个，发现给出的条件一定成立。
• 如果最高位是 \(0\)，那么如果 \(A\) 当前位是 \(1\)，那么 \(B\) 当前位一定是 \(1\) 所以就算左移了一位最好也会存在最低为是 \(0\)，可是 \(B\) 的最低位是 \(1\)。故原条件不成立，一定不会出现这种情况。

对于第一种情况可以发现只需要把最高位不是 \(1\) 的数和任意一个最高位是 \(1\) 的数放一个盒子，剩下的数两两放一个盒子即可，那么令 \(x=最高位为 1 的个数\) 那么答案就是 \(ans=(x+1)/2\)。